\(\lceil\) Chuyên đề \(\rfloor\): Bất đẳng thức hàng tuần. (Post 2)
1/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh:
\(a^2+b^2+c^2+3abc\ge6\)
2/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{3a+b^2}+\frac{b^2}{3b+c^2}+\frac{c^2}{3c+a^2}\ge\frac{3}{4}\)
3/ Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh...
Đọc tiếp
\(\lceil\) Chuyên đề \(\rfloor\): Bất đẳng thức hàng tuần. (Post 2)
1/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh:
\(a^2+b^2+c^2+3abc\ge6\)
2/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{3a+b^2}+\frac{b^2}{3b+c^2}+\frac{c^2}{3c+a^2}\ge\frac{3}{4}\)
3/ Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{27}\)
4/ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge\sqrt{\frac{11\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+5}\)
5/ Cho a, b, c là số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a+b+c}{9\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{a^2}{4a^2+5bc}+\frac{b^2}{4b^2+5ca}+\frac{c^2}{4c^2+5ab}\)
Xem TOPIC (Post 1) tại:Câu hỏi của tth - Toán lớp 8 | Học trực tuyến (vẫn nhận bài đến hết thứ 7 tuần này, ngày 25/4.)
TOPIC này thời gian nộp bài tương tự như trước (1 tuần, đến hết thứ Năm tuần sau, ngày 30/4)
Riêng bài \(5\) mong mọi người tìm những cách hay chứ đừng như cách em, nhìn là hết muốn đọc rồi :))
Thử câu 2 phát :v
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2c+b^2a+c^2b+2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c}{abc+2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+6\le abc+8\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b-abc\le2\) (*)
Giả sử b là số ở giữa. Thế thì: a(b - a)(b - c) \(\le\) 0.
\(\Leftrightarrow\) ab2 + a2c - a2b - abc \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) ab2 + bc2 + ca2 - abc \(\le\) a2b + bc2
Đặt P = a2b + bc2 = b(a2 + c2)
Ta có: 2P2 = 2b2(a2 + c2)2
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
2P2 = 2b2 . (a2 + c2) . (a2 + c2) \(\le\) \(\left(\frac{2b^2+a^2+c^2+a^2+c^2}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow\) P \(\le\) 2
Do đó ab2 + bc2 + ca2 - abc \(\le\) P = 2. (*) được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a, b, c) \(\in\) {(2; 2; 2); (0; 1; \(\sqrt{2}\))} và các hoán vị.
Câu 1:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^{ }+a^2+b^2+c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2\ge9a^2b^2c^2+3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3+3abc\left(a+b+c\right)\ge9a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)+bc\left(b^2-2bc+c^2\right)+ca\left(c^2-2ca+a^2\right)+3abc\left(a+b+c\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2+bc\left(b-c\right)^2+ca\left(c-a\right)^2+3abc\left(a+b+c-3\right)\ge0\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng vì a + b + c \(\ge\) 3 (dễ c/m).
Không biết có đúng ko.