Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a. Ta có:
$\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn - cung BC)
$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$
Tam giác $ABC$ có 2 đường cao $BN, CM$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
b. Gọi $D$ là giao của $AH$ và $BC$. Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ tại $D$.
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$
$\Rightarrow$ trung tuyến $MO= \frac{BC}{2}=BO$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow BOM$ là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{OBM}=90^0-\widehat{BCM}$
$=90^0-\widehat{DCH}=\widehat{MHA}=\widehat{MHE}(1)$
$CM\perp AB$ nên $AMH$ là tam giác vuông tại $M$
$\Rightarrow ME=\frac{AH}{2}=EH$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow MEH$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{MHE}=\widehat{EMH}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{EMH}$
$\Rightarrow \widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}$
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{EMO}$
$\Rightarrow \widehat{EMO}=90^0$
$\Rightarrow EM\perp MO$ nên $EM$ là tiếp tuyến $(O)$
c.
Ta có:
$EM=\frac{AH}{2}=EN$
$OM=ON$
$\Rightarrow EO$ là trung trực của $MN$
Gọi $T$ là giao điểm $EO, MN$ thì $EO\perp MN$ tại $T$ và $T$ là trung điểm $MN$.
Xét tam giác $EMO$ vuông tại $M$ có $MT\perp EO$ thì:
$ME.MO = MT.EO = \frac{MN}{2}.EO$
$\Rightarrow 2ME.MO = MN.EO$
Bài 1 : Bài giải
Hình tự vẽ //
a) Ta có DOC = cung DC
Vì DOC là góc ở tâm và DAC là góc chắn cung DC
=>DOC = 2 . AOC (1)
mà tam giác AOC cân =>AOC=180-2/AOC (2)
Từ (1) ; (2) ta được DOC + AOC = 180
b) Góc ACD là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn
=>ACD=90 độ
c) c) HC=1/2*BC=12
=>AH=căn(20^2-12^2)=16
Ta có Sin(BAO)=12/20=>BAO=36.86989765
=>AOB=180-36.86989765*2=106.2602047
Ta có AB^2=AO^2+OB^2-2*OB*OA*cos(106.2602047)
<=>AO^2+OA^2-2OA^2*cos(106.2602047)=20^2
=>OA=12.5
a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>CM\(\perp\)MB tại M
=>CM\(\perp\)AB tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó ΔBNC vuông tại N
=>BN\(\perp\)NC tại N
=>BN\(\perp\)AC tại N
Xét ΔABC có
BN,CM là các đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
b: Gọi K là giao điểm của AH và BC
Xét ΔABC có
H là trực tâm của ΔABC
K là giao điểm của AH và BC
Do đó: AH\(\perp\)BC tại K
Ta có: ΔAMH vuông tại M
mà ME là đường trung tuyến
nên EM=EH
=>ΔEMH cân tại E
=>\(\widehat{EMH}=\widehat{EHM}\)
mà \(\widehat{EHM}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{KHC}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{MCB}\right)\)
nên \(\widehat{EMH}=\widehat{ABC}\)
Ta có: OM=OC
=>ΔOMC cân tại O
=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\)
Ta có: \(\widehat{EMO}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{OCM}\)
\(=90^0\)
=>ME là tiếp tuyến của (O)
c: Gọi I là giao điểm của EO và MN
Ta có: ΔHAN vuông tại N
mà NE là đường trung tuyến
nên NE=AE=ME
Ta có: NE=ME
=>E nằm trên trung trực của NM(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của MN
=>OE\(\perp\)MN tại trung điểm I của MN
Xét ΔMEO vuông tại M có MI là đường cao
nên \(MI\cdot EO=ME\cdot MO\)
=>\(2\cdot MI\cdot EO=2\cdot ME\cdot MO\)
=>\(MN\cdot OE=2\cdot ME\cdot MO\)
a, xét từ giác AMNC có
(Ac là tiếp tuyến của (O) ,
(MN vuông góc với CD) => \(\widehat{CAM}+\widehat{CNM}\)=180
=> AMNC nội tiếp
Xét tứ giác BMND có =90 ( BD là tiếp tuyến của (O) , \(\widehat{CND}\)=90 ( MN vuông góc với CD)
=> \(\widehat{MND}+\widehat{NAC}\)=180
=> Tứ giác BDMN nội tiếp
b, Ta có \(\widehat{CMN}=\widehat{NAC}\) (cùng chắn CN)
=> = cung AN(1)
Ta cũng có\(\widehat{NMD}+\widehat{NMD}\) (cùng chắn cung ND)
\(\widehat{NMD}\)= cung NB(2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{CMD}+\widehat{NMD}\)= (cung AN + cung NB)
=> \(\widehat{CMD}\)= cung AB = =90
=> tam giác CMD vuông tại M
Vì NMBD nội tiếp => \(\widehat{NDM}+\widehat{NBM}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Mà \(\widehat{MCD}+\widehat{NBM}\)=90
=> \(\widehat{MCD}+\widehat{NBM}\)=90 (1)
Mặt khác \(\widehat{NAB}+\widehat{NBA}\)=90 (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{MCD}=\widehat{NAB}\)
Xét tam giác ANB và CMD ta cs
\(\widehat{ANB}=\widehat{CMD}\) (=90)
\(\widehat{MCD}=\widehat{NAD}\)
=> 2 tam giác này bằng nhau
4) Ta có: \(AM//PQ\)( cùng vuông góc với OC )
Xét tam giác COQ có: \(EM//OQ\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{EM}{OQ}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (1)
Xét tam giác COP có: \(AE//OP\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OP}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{EM}{OQ}=\frac{AE}{OP}\)Mà AE=EM
\(\Rightarrow OQ=OP\)
Xét tam giác CPQ và tam giác COP có chung đường cao hạ từ C, đáy \(OP=\frac{PQ}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}=2.S_{\Delta COP}\)
Ta có: \(S_{\Delta COP}=\frac{1}{2}OA.CP=\frac{1}{2}R.CP\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác COP vuông tại O có đường cao OA ta có:
\(OA^2=CA.AP\)
Mà \(CA.AP\le\frac{\left(CA+AP\right)^2}{4}=\frac{PC^2}{4}\)( BĐT cô-si )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
\(\Rightarrow PC^2\ge4OA^2\)
\(\Rightarrow PC\ge2OA=2R\)
\(\Rightarrow S_{\Delta COP}\ge R^2\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}\ge2R^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
Mà tam giác COP vuông tại O có đường cao OA
\(\Rightarrow AC=AP=OA=R\)
Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác CAO vuông tại A ta được:
\(AC^2+AO^2=OC^2\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{AC^2+AO^2}=R\sqrt{2}\)
Vậy điểm C thuộc đường thẳng d sao cho \(OC=R\sqrt{2}\)thì diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất
Giải
a) Ta có: OM⊥JM (JM là tiếp tuyến của (O))
NK⊥JM (K là trực tâm của ΔJMN)
⇒ OM // NK
Chứng minh tương tự được ON // MK
⇒ OMKN là hình bình hành
Hình bình hành OMKN có hai đường chéo OK và MN cắt nhau tại H
=⇒ H là trung điểm của OK.
b) Hình bình hành OMKN có OM = ON = a nên là hình thoi
⇒ OM = MK ⇒ΔOMK cân tại M
ΔOMJ vuông tại M, có:
có \(\widehat{MOJ}=\frac{OM}{OJ}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{MOJ}=60^0\)
⇒ΔOMK là tam giác đều
⇒OK = OM = a ⇒K ∈ (O ; a)
c) ΔOMH vuông tại H
⇒MH = OM . sin\(\widehat{MOH}\)=a . sin\(60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)hay \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Hok Tốt !
# mui #
Chú Thích : Mk có gửi ảnh nếu bn ko thấy thì vào thống kê hỏi đáp của mk nha