Question

[๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG]

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Qua I kẻ một đường thẳng vuông góc với IA cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. CMR:

a) BD.CE = \(ID^2\) = \(IE^2\)

b) BI2 = BD.BC

c) DE.BC = 2IB.IC

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

a/Xét \(\Delta AID\&\Delta AIE\) có:

\(\widehat{AID}=\widehat{AIE}=90,\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\)

Chung AI

Suy ra: \(\Delta AID=\Delta AIE\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ID=IE\\\widehat{ADI}=\widehat{AEI}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Rightarrow\widehat{BDI}=\widehat{IEC}\)

Tứ giác BDEC có: \(2\widehat{IEC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=360\left(2\right)\)

Lại có: BI,IC là ph/giác nên:

\(\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180\Leftrightarrow2\widehat{BIC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=360\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\widehat{IEC}=\widehat{BIC}\)

Mà \(\widehat{ECI}=\widehat{ICB}\Rightarrow\widehat{EIC}=\widehat{IBC}=\widehat{DBI}\) ( tổng 3 góc của tgiac)

Xét \(\Delta DBI\&\Delta EIC\) có:

\(\widehat{EIC}=\widehat{DBI}\)(CMT)

\(\widehat{BDI}=\widehat{IEC}\left(CMT\right)\)

Suy ra : \(\Delta DBI\sim\Delta EIC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{ID}=\frac{IE}{CE}\Rightarrow BD.CE=ID.IE=ID^2=IE^2\left(ID=IE\right)\)

b/Xét \(\Delta DBI\&\Delta IBC\) có:

\(\widehat{DBI}=\widehat{IBC}\)

\(\widehat{BDI}=\widehat{IEC}=\widehat{BIC}\)

Suy ra: \(\Delta DBI\sim\Delta IBC\Rightarrow\frac{DB}{IB}=\frac{IB}{BC}\)

\(\Rightarrow IB^2=BD.BC\)

c/CM tương tự ta cũng có: \(IC^2=CE.BC\)

Vậy \(2IB.IC=2\sqrt{BD.BC}.\sqrt{CE.BC}=2.\sqrt{ID^2}.\sqrt{BC^2}=2.ID.BC=DE.BC\)

Answer 2

[๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG]

cảm ơn bn nha !!!