Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
CMR:\(\frac{AD}{HD}\)+\(\frac{BE}{HE}\)+\(\frac{CF}{HF}\)≥9 (không dùng bất đẳng thức)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hơi khó nên tui dung tạm BĐT vậy , bạn thông cảm ^ ^
\(S\left(ABC\right)=AD.\frac{BC}{2}\)
\(S\left(BHC\right)=HD.\frac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{HD}{AD}=\frac{S\left(BHC\right)}{S\left(ABC\right)}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(\frac{HE}{BE}=\frac{S\left(AHC\right)}{S\left(ABC\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{HF}{CF}=\frac{S\left(AHB\right)}{S\left(ABC\right)}\left(3\right)\)
(1) + (2) +(3) được:
\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\left[S\left(BHC\right)+S\left(AHC\right)+\frac{S\left(AHB\right)}{S\left(ABC\right)}\right]=\frac{S\left(ABC\right)}{S\left(ABC\right)}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)9 ta có:
\(\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\right)\ge9\)
mà: \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\) \(\Rightarrow\left(\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\right)\ge9\)
a,Xét tg DHB và tg DCA có: ^HDB=^CDA=90 độ, ^DBH=^DAC ( cùng phụ với hai góc bằng nhau BHD=^AHE)
Do đó: tg HDB đồng dạng tg DCA (g.g)
Suy ra: HD/DC=BD/DA-> bd*dc=dh*da
b, HD/HA=SBHC/SABC
HE/BE=SAHC/SABC
HF/CF=SHAB/SABC
HD/HA+HE/BE+HF/CF=SBHC/SABC+SAHC/SABC+SAHB/SABC=1
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/954653.html
Tương tự nhé!
Bài này thì dễ mà đề nó nói không dùng BĐT mà
@Trần Quốc Khanh