Question

[Đỗ Văn Nam]

Bài 1: Cho tam giác đều ABC. Điểm M ở miền trong của tam giác sao cho MA = 1 cm, CM = 2 cm, BM là độ dài cạnh hình vuông diện tích là 3 cm². Lấy D thuộc mặt phẳng bờ BC không chứa A sao cho tam giác CMD đều.

a) Chứng minh rằng: ΔCAM = ΔCBD.

b) Chứng minh rằng: ΔMBD là tam giác vuông.

c) Tính góc BMC, góc AMB. Suy ra A, M, D thẳng hàng.

d) Tìm diện tích hình vuông có cạnh BC.

Answer 1

[Trịnh Long]

a)

– Xét ΔCAM và ΔCBD ta có:

+) AC = BC (ΔABC đều)

+) ∠ACM + ∠MCB = 60º, ∠BCD + ∠MCB = 60º nên suy ra ∠ACM = ∠BCD

+) MC = DC (ΔMCD đều)

=> ΔCAM = ΔCBD (c.g.c) (đpcm)

b) – Theo câu a, ΔCAM = ΔCBD (c.g.c)

=> BD = AM = 1 (cm) (Hai cạnh tương ứng)

=> ∠AMC = ∠BDC (Hai góc tương ứng) (1)

– Xét ΔBDM ta có:

AM = 1 cm,

BM là cạnh của hình vuông có diện tích bằng 3 cm². Nên suy ra: BM = √3 (cm).

MD = MC = 2 cm (ΔMCD đều).

Ta có: BM² + BD² = 1 + (√3)² = MD²

– Theo định lý Pi-ta-go đảo, suy ra: ΔBDM là tam giác vuông tại B (đpcm).

c) – Theo câu b ta có: ΔBDM là tam giác vuông tại B, mà BD = 1 cm, DM = 2 cm,

=> DM = 2BD nên suy ra: ∠BMD = 30º, mà ΔMCD là tam giác đều nên ∠CMD = 60º,

=> ∠BMC = 30º + 60º = 90º.

– Ta có: ∠BMD + ∠BDM = 90º

=> ∠BDM = 90º – 30º = 60º, mà ΔMCD là tam giác đều nên ∠MDC = 60º,

=> ∠BDC = ∠BDM + ∠MDC = 60º + 60º = 120º.

Từ (1) suy ra: ∠AMC = ∠BDC = 120º.

=> ∠AMB = 360º – (∠AMC + ∠BMC) = 360º – (120º + 90º) = 150º.

– Ta có: ∠AMD = ∠AMC + ∠DMC = 120º + 60º = 180º

=> Hai tia MA và MD là hai tia đối nhau

=> 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

d) Theo câu c, ta có: ∠BMC = 90º nên suy ra: ΔBMC là tam giác vuông tại B.

=> BC² = BM² + MC² = 3 + 4 = 7.

=>Diện tích hình vuông có cạnh BC là S = BC² = 7 (cm²).

Hình tự vẽ!