CM bất đẳng thức:
1/ ( x+ y )+ ( x+ z ) < 1/ 4 . ( 1/ x+ y + 1/ x+ z)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
2
10 tháng 5 2018
\(x^2+y^2>=2xy\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}< =\frac{x}{2xy}=\frac{1}{2y}\)(1)
\(y^2+z^2>=2yz\Rightarrow\frac{y}{y^2+z^2}< =\frac{y}{2yz}=\frac{1}{2z}\)(2)
\(x^2+z^2>=2xz\Rightarrow\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}\)(3)
từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{y^2+z^2}+\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)(đpcm)
NT
0
ND
1
BT
16 tháng 12 2017
Ta có:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)=\frac{x}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)
Theo bất đẳng thức Cauchy, có: \(y+z\ge2\sqrt[]{yz}\)(1)
Và \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2.\frac{1}{\sqrt{yz}}=\frac{2}{\sqrt{yz}}\) (2)
Nhân (1) với (2) ta được: \(\left(y+z\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\sqrt{yz}.\frac{2}{\sqrt{yz}}=4\)
=> \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z}\) Thay vào (*) ta được:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)=\frac{x}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x}{4}.\frac{4}{y+z}=\frac{x}{y+z}\)
=> \(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)\ge\frac{x}{y+z}\left(đpcm\right)\)
LV
19 tháng 6 2017
có: \(x\left(2x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+9x\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+12x-4\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)^3\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^3\le1-\frac{3}{4}x\).
tương tự và cộng lại ta có ngay đpcm.
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1,5; 1 số bằng 0
M
3
13 tháng 1 2019
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
x+x+y+z≥44√x.x.y.z
=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z (1)
Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z (2)
Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16
=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)
Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z ) (**)
1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z ) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1
=> đpcm
14 tháng 12 2017
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
AP
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 9 2019
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
T
29 tháng 9 2019
A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)
\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)
Đẳng thức xảy ra khi x =y = z
P/s: cách này làm màu thôi :D
26 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Chứng minh \(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
tương tự cộng zế zới zế ta đc
\(\frac{1}{2xx+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)(dpcm