Chứng minh: \(A=36^{48}+41^{43}\) chia hết cho 77
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 3 2020
Lời giải:
Ký hiệu $\text{BSn}$ là bội số của số $n$
CM $A\vdots 7$
Ta có:
$36^{38}-1=(35+1)^38}-1=\text{BS35}+1-1=\text{BS35}=\text{BS7}\vdots 7$
$41^{43}+1=(42-1)^{43}+1=\text{BS42}-1+1=\text{BS42}=\text{BS7}\vdots 7$
Cộng theo vế:
$A=36^{38}+41^{43}\vdots 7(*)$
CM $A\vdots 11$
\(36^{38}-3^{38}=(33+3)^{38}-3^{38}=\text{BS33}+3^{38}-3^{38}=\text{BS33}=\text{BS11}\vdots 11\)
\(41^{43}+3^{43}=(44-3)^{43}+3^{43}=\text{BS44}-3^{43}+3^{43}=\text{BS44}=\text{BS11}\vdots 11\)
Cộng theo vế:
\(A+3^{43}-3^{38}\vdots 11\)
\(\Leftrightarrow A+3^{38}(3^5-1)\vdots 11\Leftrightarrow A+242.3^{38}\vdots 11\)
Mà $242.3^{38}=11.22.3^{38}\vdots 11$ nên $A\vdots 11(**)$
Từ $(*); (**)$ mà $(7,11)=1$ nên $A\vdots 77$ (đpcm)
SM
29 tháng 3 2020
36^38+41^33
= 36^33 . 36^5 + 41^33
= 36^33 . 36^5 + 36^33 - 36^33 + 41^33
= 36^33(36^5+ 1) - (36^33 - 41^33)
= 77.Q1 - 77.Q2
=> chia hết cho 77
24 tháng 6 2015
+) 36 đồng dư với 1 (mod 7)
=> 3638 đồng dư với 138 = 1 (mod 7)
41 đồng dư với (-1) (mod 7)
=> 4143 đồng dư với (-1)43 = -1 (mod 7)
Do đó: 3638 + 4143 đồng dư với 1 + (-1) = 0 (mod 7)
Hay 3638 + 4143 chia hết cho 7
+) 36 đồng dư với 3 (mod 11)
=> 3638 đồng dư với 338 (mod 11)
41 đồng dư với (-3) (mod 11)
=> 4143 đồng dư với (-3)43 = -1 (mod 7)
Do đó: 3638 + 4143 đồng dư với 3 38+ (-3)43 (mod 11)
mà 3 38+ (-3)43 = 338 .(1- 35) = 338. (-242) chia hết cho 11
=> 3638 + 4143 chia hết cho 11
Vậy 3638 + 4143 chia hết cho 11 và 7 => chia hết cho 77
OH
1
10 tháng 7 2017
Ta có :
\(36^{38}=\left(7.5+1\right)^{38}\) đồng dư với 1 (mod 7)
\(41^{43}=\left(7.6-1\right)^{43}\)đồng dư với - 1(mod 7)
\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\)đồng dư với 0 (mod 7)
Hay \(36^{38}+41^{43}\) chia hết cho 7 (1)
Ta cũng có :
\(36^{38}=\left(3.11+3\right)^{38}\) đồng dư với \(3^{38}\) (mod 11)
\(41^{43}=\left(44-3\right)^{43}\) đồng dư với \(-3^{43}\) (mod 11)
\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\)đồng dư với \(3^{38}-3^{43}\) (mod 11)
Ta thấy : \(3^{38}-3^{43}=3^{38}\left(1-3^5\right)=3^{38}.\left(-242\right)=3^{38}.11.\left(-22\right)⋮11\)
\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\) chia hết cho 11 (2)
Mà (7;11) = 1 Nên từ (1) ; (2) => \(36^{38}+41^{43}⋮77\) (đpcm)
OH
0
DD
15 tháng 11 2016
CM A chia hết cho 7 và 11. Nếu bạn đã biết qua về lý thuyết đồng dư thì có thể giải thế này:
* 36 mod 7 = 1 nên 36^38 mod 7 = 1; 41 mod 7 = -1 nên 41^33 mod 7 = (-1)^33 = -1
suy ra A mod 7 = 0 hay A chia hết cho 7.
* 36 mod 11 = 3, 41 mod 11 =-3 nên A mod 11 = 3^ 38 - 3^33 =3^33 (3^5 - 1) =3^33. 242
Vì 242 chia hết cho 11 nên A mod 11 = 0.
Vậy A chia hết cho 7.11 =77
NV
1
19 tháng 8 2016
\(=36^{33+5}+41^{33}=60466176\cdot36^{33}+41^{33}\)\(=60466175\cdot36^{33}+36^{33}+41^{33}\)
\(=60466175\cdot36^{33}+\left(36+41\right)\left(36^{32}-36^{31}\cdot41+...-41^{32}\right)\)
\(=77\cdot785275\cdot36^{33}+77\cdot M\)chia hết cho 77
E
3
T
3 tháng 6 2019
#)Giải :
a) Đặt A = 29 + 299 = 29 + ( 211)9
A = ( 2 + 211)( 28 - 27 x 211 + ... - 2 x 277 + 288)
Nhân tử thứ nhất 2 + 211 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẵn = 2A ( vì là tổng hiệu của các bội của 2 )
=> A = 2050 x 2A = 4100 x A => A chia hết cho 100