Cho 2 số dương a, có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 6 2020
Bg
Hai số dương a, b có tổng bằng 2 --> a = 1 và b = 1 (vì 2 = 2 + 0 = 1 + 1; số dương là số > 0 nên a = 1 và b = 1)
Thay giá trị của a và b vào:
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{4}{1^2}\right).\left(1-\frac{4}{1^2}\right)=\left(1-4\right).\left(1-4\right)=-3.\left(-3\right)=9\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 9.
28 tháng 6 2020
Bài làm:
Ta có: \(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\frac{a^2-4}{a^2}.\frac{b^2-4}{b^2}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a^2}.\frac{\left(b-2\right)\left(b+2\right)}{b^2}\left(1\right)\)
Thay \(2=a+b\)vào \(\left(1\right)\)
\(\left(1\right)=\frac{\left(a-a-b\right)\left(a+a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(b-a-b\right)\left(b+a+b\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(-b\right).\left(2a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(-a\right).\left(2b+a\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+a\right)}{ab}\)
\(=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}\ge\frac{4ab+5ab}{ab}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
Vậy Min=9 khi a=b=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(P=\frac{\left(4-a^2\right)\left(4-b^2\right)}{a^2b^2}=\frac{\left[\left(a+b\right)^2-a^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-b^2\right]}{a^2b^2}\)
\(=\frac{b\left(2a+b\right).a\left(a+2b\right)}{a^2b^2}=\frac{\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}{ab}=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+5\ge2.2\sqrt{\frac{ab}{ab}}+5=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
25 tháng 12 2020
a, \(A=\left(\frac{4}{2x+1}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\left(\frac{4\left(x^2+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\left(\frac{4x^2+4+4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\frac{\left(2x+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\frac{x^2+1}{x^2+2}=\frac{2x+1}{x^2+2}\)
N
3 tháng 4 2021
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)
Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))
\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)
Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)