Question

[Hoàng Chi]

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( O ) . AD là tia phân giác của góc A ( D thuộc BC) . Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn ( O)

a) Tiếp truyến của đường tròn tại A cắt BC ở I . Chứng minh rằng tam giác IAD là tam giác cân

b) Kẻ đường kính EOF . Gọi M là giao điểm của FA với BC . Chứng minh rằng M đối xứng với D qua I

Answer 1

[Nguyễn Thị Diễm Quỳnh]

a) Có : \(\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{IAD}\)

mà \(\widehat{IAB}=\widehat{DAC}\) ( hệ quả của góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ) ; \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)

=> \(\widehat{IAD}=\widehat{DAC}+\widehat{ACD}\)

Mặt khác : \(\widehat{ADI}=\widehat{DAC}+\widehat{ACD}\) ( tính chất góc ngoài )

=> \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\Rightarrow\Delta IAD\) cân tại I => IA = ID

b) Có \(\widehat{EAF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=> \(\widehat{EFA}=90^o\Rightarrow\widehat{MAD}=90^o\)

Có: \(\widehat{AMD}+\widehat{ADM}=\widehat{MAI}+\widehat{IAD}=90^o\)

mà \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)

=> \(\widehat{IMA}=\widehat{IAM}\Rightarrow\Delta AIM\) cân tại I

=> MI = AI mà IA = ID

=> MI = ID

hay M đối xứng với D qua I