Cho A=1/2^2+1/2^4+1/2^6+1/2^8+...+1/2^100. Chứng minh A<1/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
LT
1
1 tháng 11 2016
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(2^2.A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+...+\frac{1}{2^{98}}\)
\(2^2.A-A=\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+...+\frac{1}{2^{98}}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(4.A-A=1-\frac{1}{2^{100}}< 1\)
\(3A< 1\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
3 tháng 9 2017
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
YT
0
28 tháng 10 2017
Ta có: \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{2^8}+...+\dfrac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow2^2A=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^6}+...+\dfrac{1}{2^{98}}\)
\(\Rightarrow2^2A-A=\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^6}+...+\dfrac{1}{2^{98}}\right)-\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{2^8}+...+\dfrac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow3A=1-\dfrac{1}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{100}}}{3}< \dfrac{1}{3}\)(đpcm)
KL
26 tháng 7 2017
a, Ta có : \(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)
\(...\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(A=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}< 2\)
@Nguyễn Khanh
KL
26 tháng 7 2017
b, 1 = 1
1/2 + 1/3 = 1/(1 + 1) + 1/(1 + 2) < 2/(1 + 1) = 2/2 = 1
1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 = 1/(3 + 1) + 1/(3 + 2) + 1/(3 + 3) + 1/(3 + 4) < 4/(3 + 1) = 4/4 = 1
1/8 + 1/9 + ... + 1/15 = 1/(7 + 1) + 1/(7 + 2) + ... + 1/(7 + 8) < 8/(7 + 1) = 8/8 = 1
1/16 + 1/17 + ... + 1/31 = 1/(15 + 1) + 1/(15 + 2) + ... + 1/(15 + 16) < 16/(15 + 1) = 16/16 = 1
1/32 + 1/33 + ... + 1/63 = 1/(31 + 1) + 1/(31 + 2) + ... + 1/(31 + 32) < 32/(31 + 1) = 32/32 = 1
=> 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/64 < 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
=> 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/64 < 6 (đpcm)
@Nguyễn Khanh
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(4A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+...+\frac{1}{2^{98}}\)
\(3A=4A-A=1-\frac{1}{2^{100}}<1\)
\(A<\frac{1}{3}\)