1 . ) Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{a}{2a b c} \frac{b}{2b c a} \frac{c}{2c a b}\)2 cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}=3\) Tìm...

NT

Nguyễn Thị Mát

14 tháng 3 2020 - olm

1 . ) Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\)2 cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thị Kim Tuyến

10 tháng 10 2019 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(M=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\)

#Toán lớp 9

2

KS

Kudo Shinichi

10 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và BĐT phụ \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow M^2=\left(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c}\right)\)

\(\le\frac{3}{4}\left(\frac{a}{b+a}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{3}{2}\)

Dấu "= " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Đúng(0)

LT

Lý Thái Hà Linh

14 tháng 4 2020

ko hỉu

Đúng(0)

LA

Lê An Bình

18 tháng 4 2016

Cho 3 số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a+b+c=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\)

#Toán lớp 12

1

NT

Nguyễn Thị Quỳnh Như

18 tháng 4 2016

Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có

\(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Đúng(0)

BD

Bạch Dạ Y

12 tháng 9 2021 - olm

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : a+b+c=5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(T=\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{2c^2+7a^2+16ac}}\)

#Toán lớp 9

1

K

KhangCVn

12 tháng 9 2021

Ta có: \(4ab\le2a^2+2b^2\)

=> \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}\le\sqrt{4a^2+9b^2+12ab}=\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}=2a+3b\)

=> \(\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)

Chứng minh tương tự

=> \(T\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)

Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức

=> \(T\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=1\)

=> \(MinT=1\)xảy ra khi a=b=c=5/3

Đúng(0)

A

Aurora

12 tháng 5 2021

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

12 tháng 5 2021

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)

Đúng(6)

DS

Death Stroke

1 tháng 5 2018 - olm

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=1

tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}+\sqrt{\frac{b+c}{2}}+\sqrt{\frac{c+a}{2}}\)

#Toán lớp 9

2

ND

Nguyễn Đại Nghĩa

1 tháng 5 2018

bn sử dụng bất đẳng thức cô si đi

Đúng(0)

DS

Death Stroke

1 tháng 5 2018

Nguyễn Đại Nghĩa,bác nói cụ thể hơn được ko :v

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thanh Hải

26 tháng 4 2022

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)

#Toán lớp 9

0

NH

Nguyễn Hưng Phát

28 tháng 8 2016 - olm

Cho a , b , và c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

\(P=\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b^2}}\)

#Toán lớp 9

0

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021 - olm

Bài 1: Cho a,b dương và \(2a+3b=ab\) Chứng minh rằng \(a+b\ge5+2\sqrt{6}\)Bài 2: Cho a,b dương và \(a+b=ab\) Tìm giá trị lớn nhất của\(S=\frac{1}{a}+\frac{2}{a+b}\)Bài 3: Cho a,b là các số dương. Tìm giá trị bé nhất của\(S=\frac{a^2+b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)Bài 4: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9\)Chứng minh rằng\(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\le\sqrt{3}\)Bài 5: Cho ba số...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021

B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hữu Khôi

31 tháng 8 2021

Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.

Đúng(0)

NP

Nguyen Phuc Duy

20 tháng 2 2021 - olm

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :\(P=\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\) .

#Toán lớp 9

1

KN

Kiệt Nguyễn

20 tháng 2 2021

Áp dụng bổ đề quen thuộc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\), ta được: \(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+2}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+2}\)\(=\frac{bc}{ab^2c\left(a+b\right)+abc^2\left(a+c\right)+2bc}=\frac{bc}{b\left(a+b\right)+c\left(a+c\right)+2bc}\)\(\le\frac{bc}{ab+ac+4bc}=\frac{bc}{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)+2bc}\)\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b\left(a+c\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2bc}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(2); \(\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}\right)\)(3)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{9}\left(1+1+1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{2}\)đạt được khi x = y = z = 1

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP