Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm : \(x^4+mx^2-2mx-2=0\forall m\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
WN
16 tháng 5 2018
pt có \(\Delta'\)=[-(m)]\(^2\)-(m-7)=m\(^2\)-m+7
=m^2-m+\(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+7\)
=(m-1/2)^2+27/4 ( Vì( m-1/2)^2>=0 mọi m nên (m-1/2)^2+27/4 >0 mọi m)\(\Rightarrow\)\(x^2-2mx+m-7=0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
16 tháng 5 2018
đen ta phẩy=m^2 - m + 7 = m^2 - 2 x m x 1/2 + 1/4 - 1/4 + 7 = (m-1/2)^2 + 15/2
TC: (m - 1/2)^2 > hoặc =0 với mọi m
suy ra (m - 1/2)^2 + 15/2 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có 2 no phân biệt với mọi m
CM
25 tháng 6 2019
Phương trình ax + b = 0 hoặc ax = b vô nghiệm khi a= 0 và b ≠ 0 .
Xét phương án C:
m m x - 1 = m 2 + 1 x - m ⇔ m 2 x = m 2 x + 1 - m
⇔ 0 x = 1 (vô lí) nên phương trình này vô nghiệm.
Chọn C.
5 tháng 3 2022
Ta có:\(\Delta'=m^2-\left(2m-3\right)=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2>0\)
Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
5 tháng 3 2022
\(a) x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0.\)
\(∆ ' = m^2 -(2m-3) = m^2 -2m +1 +2 = (m-1) ^2 +2\)
Có \((m+1) ^2 ≥0 <=> (m+1)^2 +2 ≥2 >0\)
\(=> ∆'>0 <=> PT\) luôn có 2 nghiệm \(PB\) với mọi m
꧁༺๖ۣ๖ۣۜSkyღ๖ۣۜlạnh☯๖ۣۜlùngɠɠ༻꧂
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 3 2021
Lời giải:
a) Khi $m=1$ thì pt trở thành:
$x^2-2x-5=0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2=6$
$\Rightarrow x=1\pm \sqrt{6}$
b) Để $x_1=3$ là nghiệm của pt thì:
$3^2-2.m.3+2m-7=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
Nghiệm còn lại $x_2=(x_1+x_2)-x_1=2m-x_1=2.\frac{1}{2}-3=-2$
c)
$\Delta'= m^2-(2m-7)=(m-1)^2+6>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Theo định lý Viet: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=2m-7$
Khi đó:
Để $x_1^2+x_2^2=13$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$
$\Leftrightarrow (2m)^2-2(2m-7)=13$
$\Leftrightarrow 4m^2-4m+1=0\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
d)
$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$
$=(2m)^2-(2m-7)=4m^2-2m+7=(2m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}$
Vậy $x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ đạt min bằng $\frac{27}{4}$. Giá trị này đạt tại $m=\frac{1}{4}$
Đặt \(f\left(x\right)=x^4+mx^2-2mx-2\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-2\)
\(f\left(2\right)=2^4+4m-4m-2=14\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;2\right)\) hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m