Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. CMR:
\(\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\ge12\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
7 tháng 3 2018
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^3}{c^3+a^3}-\frac{b^3}{b^3+c^3}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\frac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng liếc qua cũng biết thừa đúng :) nên ta có ĐPCM
Dấu "=" <=> a=b=c
Ủng hô va` kb với mình nhé ^^
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
30 tháng 3 2022
Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)
Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)
\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được cm
Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
30 tháng 9 2019
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
T
30 tháng 9 2019
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
17 tháng 10 2020
1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)
Áp dụng Cauchy ta được:
\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)
\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)
\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)
\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)
\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)
\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)
\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
21 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
MH
29 tháng 3 2022
Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" ⇔ a=b=c=3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Với a,b,c>0.Áp dụng BĐT Shwars có :
\(\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(1\right)\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)( dễ dàng cm)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge12\)
Vậy Ta có VP của (1) \(\ge\frac{12.12}{2.6}=12\)\(\RightarrowĐPCM\)
Bn ơi, BĐT Shwars mik chưa học, bn có cách khác không