tim gtln cua a=ab+4a+4b bt a,b>0 a^2+b^2=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LH
0
20 tháng 6 2019
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{a^2b^2}{\left(a^2b^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{ab}{2\left(a^2b^2+1\right)}=\frac{1}{2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)}\)
\(A\le\frac{1}{2\left(\frac{1}{2}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}\right)}=\frac{2}{17}\)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
MN
2
T
27 tháng 1 2019
Dùng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) nhé! Một dòng là đủ.
\(\frac{1}{\left(4a^2+4b^2\right)}+\frac{1}{8ab}\ge\frac{4}{4a^2+8ab+4b^2}==\frac{4}{4\left(a^2+2ab+a^2\right)}=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}^{\left(đpcm\right)}\)
DH
1
S
2 tháng 9 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
26 tháng 3 2020
2/Đặt : \(\left(x,y,z\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\Rightarrow a^3b^3c^3=1\Rightarrow abc=1\)
Có: \(P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
Ta có: \(a^2-ab+b^2\ge ab\)( dễ dàng CM)
Nên: \(a^3+b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Từ đó suy ra : \(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)(1)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\left(2\right),\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có MAX P=1 với a=b=c=1
26 tháng 3 2020
Bài 1 :
ÁP dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
Ta có : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ( ý a )
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(4a^3+4b^3+ab\)
\(=3\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+b^3+ab\right)\)
\(\ge3.\frac{\left(a+b\right)^3}{4}+\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=\frac{3}{4}+a^2+b^2\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
BT
14 tháng 5 2021
2M\(\le\)a(9b+4a+5b)+b(9a+4b+5a) (AM-GM)
=4(a2+b2)+28ab\(\le\)4(a2+b2)+14(a2+b2) (AM-GM)
=36 (do a2+b2=2)
=> M \(\le\)18
Dấu bằng có <=> a=b=1