Cho tam giác ABC có 3 đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
20 tháng 11 2019
Vì AD là đường cao nên AD < AB (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
\(\Rightarrow\frac{1}{AD}>\frac{1}{AB}\)
Chứng minh tương tự:
\(\frac{1}{BE}>\frac{1}{BC};\frac{1}{CF}>\frac{1}{BC}\)
Cộng tương ứng 2 vế của các bất phương trình ta có điều phải chứng minh.
\(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}\left(đpcm\right)\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
12 tháng 7 2017
Cô hướng dẫn nhé.
a) Do ABC là tam giác cân nên AE = AF, AC = AB
Lại có \(\Delta AFC\sim\Delta ABH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AB}=\frac{AC}{AH}\Rightarrow AF.AH=AB.AC\Rightarrow AE.AH=AC^2\)
b) Câu này đề ko đúng. Cô sửa lại \(\frac{1}{CF^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4.AD^2}\)
\(AD.BC=AB.CF\left(=\frac{S_{ABC}}{2}\right)\)
Vậy nên \(VP=\frac{AD^2+\frac{BC^2}{4}}{BC^2.AD^2}=\frac{AD^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2}{CF^2AB^2}=\frac{AD^2+BD^2}{CF^2AB^2}=\frac{AB^2}{CF^2.AB^2}=\frac{1}{CF^2}=VT\)
Bài này bọn e đã từng làm rồi, có trong đề thi HSG Toán lớp 8 tỉnh Bắc Giang , anh tham khảo nhé :
Đặt \(BC=a,CA=b,AB=c.\) Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là \(l_a,l_b,l_c\).