Cho x,y là các số thực thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của
P=2x4+x3(2y-1)+y3(2x-1)+2y4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa: \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4\); x+y=1
Ta có \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4=2x^4+2x^3y-x^3+2xy^3-y^3+2y^4\)
\(=x^3\left(2x+2y\right)+y^3\left(2x+2y\right)-\left(x^3+y^3\right)=\left(2x+2y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3+y^3\right)\)
\(=\left(2x+2y-1\right)\left(x^3+y^3\right)=x^3+y^3\)
Do \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)
Mà \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
$P=2x^4+x^3(2y-1)+y^3(2x-1)+2y^4$
$=2(x^4+y^4)+2xy(x^2+y^2)-(x^3+y^3)$
Trong đó:
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2xy
$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(1-2xy)^2-2x^2y^2$
$=2x^2y^2+1-4xy$
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3xy$
Do đó: $P=2(2x^2y^2+1-4xy)+2xy(1-2xy)-(1-3xy)$
$=1-3xy$
Mà $(x+y)^2-4xy=(x-y)^2\geq 0$
$\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^2=1\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$\Rightarrow P=1-3xy\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{4}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$