Question

[Phạm Bảo lan]

a ) Chứng minh bất đẳng thức

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

b ) Cho x;y;z thỏa mãn xy+yz+zx=12

Tìm Min cua M \(=x^4+y^4+z^4\)

c ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Gọi P là điểm đối xứng với M qua AB

a, Tính diện tích của tam giác ABC

b, Chứng minh rằng MN vuông góc AB

c, Tứ giác AMBP là hình gì ? Vì sao ?

Answer 1

[💋Amanda💋]

https://i.imgur.com/zDaI8UO.jpg

Answer 2

[Hoàng Thị Ánh Phương]

Bài 1 :

Xét hiệu :

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}\)

\(=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu " = " xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)