Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a , M là trung điểm AB . Tích vô hướng \(\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{DM}\)bằng:
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)
+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ = a^2\)
+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ = - {a^2}\)
+) \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Chú ý
\(\overrightarrow {a} \bot \overrightarrow {b} \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b} = 0\)
a) Ta có:
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (do M là trung điểm của AB)
\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \) (do N là trung điểm của BC)
b)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN} = \left( { - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\) (do \(AB \bot AD\)), \({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = {a^2};{\overrightarrow {AD} ^2} = A{D^2} = {a^2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN} = - 0 - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{4}.0 = 0\)
Vậy \(DM \bot AN\) hay góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng \({90^ \circ }\).
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a.a.cos60^0=-\dfrac{a^2}{2}\)
+) Ta có: \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}} = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AC = 1\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)
+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)
\(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=a.a.cos60^0=\dfrac{a^2}{2}\)
Lời giải:$ABCD$ là hình vuông nên $AC=\sqrt{2}a$
Ta thấy: $SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2$
$\Rightarrow SAC$ là tam giác vuông tại $S$
$\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0$
a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.\)
b) Dễ thấy: \(AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.\)