\(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}=4\)
x,y >0
tìm GTLN của
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 7 2021
\(A=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3-\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}-1\)
Có \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\ge2\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\le\dfrac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}-1\le\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow A\le\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=0 (tm)
Vậy \(A_{max}=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
Đk: \(x\ge3;y\ge5;z\ge4\)
Pt\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}+\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}+\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}=20\)
Áp dụng AM-GM có:
\(\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\ge2\sqrt{\sqrt{x-3}.\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}}=4\)
\(\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\ge6\)
\(\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\ge10\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge20\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\\\sqrt{y-5}=\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\\\sqrt{z-4}=\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=7;y=14;z=29\) (tm)
Vậy...
3 tháng 7 2021
I miss you Được em, hoặc trực tiếp nhóm thành HĐT, một vế là tổng các bình phương, vế còn lại bằng 0
LV
19 tháng 10 2016
Áp dụng cauchy 3 số \(\sqrt[3]{x+3y}\)=1.1.\(\sqrt[3]{x+3y}\)\(\le\)\(\frac{1+1+x+3y}{3}\)
Tương tự ta có P\(\le\)\(\frac{2+2+2+\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}{3}\)=\(\frac{6+4\left(x+y+z\right)}{3}\)=\(\frac{6+3}{3}\)=3
Dấu = xảy ra khi : x=y=z=\(\frac{1}{4}\)
22 tháng 6 2020
Đầu tiên ta chứng minh được: \(\sum\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sum\sqrt{x}\right)^2}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Ta lại có: \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}=\sqrt{\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2}\le\sqrt{2\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự, ta sẽ có: \(P\le\sqrt{2}\left(x+1+y+1+z+1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\sqrt{2}.6+\left(2-\sqrt{2}\right)3=6+\sqrt{2}.3\)
14 tháng 1 2020
Theo đề ra : x,y,z>0
Nên áp dụng BĐT cô si cho 3 số là 1;1 và x+3y ta được :
\(x+3y+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\le\frac{x+3y+1+1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{x+3y+2}{3}\)(1)
Tương tự ta cũng có được :
\(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{y+3z+2}{3}\) (2) \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{z+3x+2}{3}\)(3)
Ta cộng vế theo vế của (1) ; (2) và (3) ta được: \(\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{x+y+z+3\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}+6}{3}=3\)
Vậy GTLN của P là 3 khi x=y=z=\(\frac{1}{4}\)
24 tháng 9 2022
a: \(=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{3}=\dfrac{13}{6}\sqrt{6}-2\sqrt{3}\)
b: \(VT=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)
c: \(VT=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)
\(=\dfrac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)
HD
18 tháng 12 2015
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
9 tháng 8 2022
a: \(A=6-3\sqrt{3}+4+\sqrt{3}+2\sqrt{3}=10\)
b: \(B=\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}=-2\sqrt{y}\)
c: \(C=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{x}{\sqrt{x+3}}}.\sqrt{\sqrt{x+3}}+\sqrt{\frac{y}{\sqrt{y+3}}}.\sqrt{\sqrt{y+3}}\right)^2}\)
\(\le\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{x+3}}+\frac{y}{\sqrt{y+3}}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}\right)}\)
\(=\sqrt{4\left[\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}+\frac{y+3}{\sqrt{y+3}}-3\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}}\right)\right]}\)
\(\le2\sqrt{4-\frac{12}{\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}}}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = 1
Max A = 2.
thanks