K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 2 2020

Ta sẽ phân tích: 

\(\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{k\left(a-b\right)^2+\left(ma+nb\right)^2}\ge\sqrt{\left(ma+nb\right)^2}=ma+nb\)

Khi đó:

\(a^2+ab+b^2=\left(k+m^2\right)a^2+\left(2mn-2k\right)ab+\left(k+n^2\right)b^2\)

Đồng nhất hệ thức:

=> \(\hept{\begin{cases}1=k+m^2\left(1\right)\\1=\left(2mn-2k\right)\left(2\right)\\1=k+n^2\left(3\right)\end{cases}}\)

Thay a = b = 1/3 vào  \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge ma+nb\)ta có: \(m+n=\sqrt{3}\)(4)

Từ (1); (3) => \(m^2-n^2=0\)

<=> ( m-n ) ( m+n ) =0

<=> m = n thế vào  (4)

=> m = n = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)thế vào (2) => \(k=\frac{1}{4}\)

\(\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b\)

23 tháng 2 2020

Mình không biết đề bài của bạn như thế nào quan trọng là điều kiện của a

và hầu hết các bài toán có thể sử dụng UCT thì mẫu lớn hơn hoặc bằng 0.

Theo phương pháp UCT thì có thể làm như thế này:

Thay a = 1 vào khi đó xảy ra dấu bằng:

\(m+n=\frac{\sqrt{3}}{2}\)=> \(n=\frac{\sqrt{3}}{2}-m\)

Thay vào bất đẳng thức:

\(\frac{\sqrt{3a}}{3-a}\ge ma+\frac{\sqrt{3}}{2}-m\)

<=> \(\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{a}}{3-a}-\frac{1}{2}\right)\ge m\left(a-1\right)\)

<=> \(\sqrt{3}\left(\frac{2\sqrt{a}-3+a}{2\left(3-a\right)}\right)\ge m\left(a-1\right)\)

<=> \(\sqrt{3}\left(\frac{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\left(3-a\right)}\right)\ge m\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\)

Cần điều kiện của a và đề bài lần sau em nhớ chép nguyên cái đề bài nhé!

=>  \(m\le\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{a}+3\right)}{2\left(3-a\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

Xét tại điểm rơi a = 1

\(m=\frac{\sqrt{3}}{2}\)=> n = 0 

27 tháng 2 2020

:33 Phương pháp SOS e chưa học và đọc :)) E làm các pp khác nhá anh :33

Cách 1 :Đặt : \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Cách 2 : ( Kĩ thuật điểm rơi ) : Cộng 3 vào hai vế của BĐT rồi sử dụng AM - GM

Cách 3 : Nhân cả hai vế của BĐT với a+b+c

Cách 4 : Kĩ thuật đặt ẩn phụ ( Đặt a+b=x, b+c=y,c+a=z )

27 tháng 2 2020

Dùng phương pháp SOS :

Ta có : \(\sum_{} \) \(\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\)\(\sum_{} \)\(\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\) (1)

Vì a,b,c dương nên BĐT (1) đúng.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

12 tháng 6 2018

a )

Đồ thị parapol P đi qua điểm M khi a là nghiệm của phương trình :

\(2=a.2^2\)

\(\Leftrightarrow4a=2\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

NV
3 tháng 6 2020

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)

\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)

Bài 1:

Ta có: a,b không âm(gt)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\)\(\sqrt{b}\) được xác định

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

2 tháng 9 2019

1. Ta có:

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)

=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)

=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);

(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)

2 tháng 9 2019

1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)

Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)

Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)

Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :

\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )

NV
7 tháng 5 2019

Ta có \(1^2=\left(\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}\sqrt{c}+\sqrt{c}\sqrt{a}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(b+c+a\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge1\Rightarrow a+b+c\ge1\)

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)