Cho a, b, c là các số chính phương. CMR: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
1
CM
0
NT
0
DN
0
PM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10
Lời giải:
Một số chính phương khi chia cho 3 có dư 0 hoặc 1 (2 loại số dư). Mà có 3 số $A,B,C$ nên theo nguyên lý Đi-rích-lê thì tồn tại $[\frac{3}{2}]+1=2$ số có cùng số dư khi chia cho 3.
Giả sử đó là hai số $A,B$. Khi đó: $A-B\vdots 3\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 3(*)$
Lại có:
Nếu trong 3 số $A,B,C$ có ít nhất 2 số chẵn. Không mất tổng quát gọi 2 số đó là A và B.
Vì $A,B$ là số chính phương chẵn nên $A\vdots 4; B\vdots 4$
$\Rightarrow A-B\vdots 4\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ có 1 số chẵn 2 số lẻ. Giả sử 2 số lẻ là $A,B$. Vì $A,B$ là scp lẻ nên $A,B$ chia 8 cùng dư 1.
$\Rightarrow A-B\vdots 8\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ là 3 số lẻ. Khi đó $A-B\vdots 2; B-C\vdots 2; C-A\vdots 2$
$\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Vậy $(A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots (3.4=12)$
14 tháng 6 2021
giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp
nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3
lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3
tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3
cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81
DV
1
18 tháng 3 2019
Áp dụng:
Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
Đặt A = (x - y)(y - z)(z - x)
Vì 1 số chính phương chia 3, chia 4 đều dư 0 hoặc 1
- Vì x, y, z chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3
=> Hiệu của chúng chia hết cho 3
=> x - y hoặc y - z hoặc z - x chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (1)
- Vì x, y, z chia 4 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 4
=> Hiệu của chúng chia hết cho 4
=> x - y hoặc y - z hoặc z - x chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4 (2)
Tư (1) và (2) kết hợp với ƯCLN (3,4) = 1 => A chia hết cho 3 x 4 => A chia hết cho 12
PT
1
6 tháng 6 2016
a;b;c là các số chính phương nên viết được dưới dạng: \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\mid x;y;z\in Z\)
Do đó, \(M=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
- Trong 3 số x;y;z có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn hoặc lẻ. Suy ra Tổng và Hiệu 2 số có cùng tính chẵn (hoặc lẻ) đó là số chẵn. => \(M\vdots4\)(1)
- Trong 3 số x;y;z nếu có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho 3 => \(M\vdots3\)(a)
- Trong 3 số x;y;z nếu không có bất kỳ 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì các số dư đó khác nhau và lần lượt là: 0;1;2. Khi đó tổng 2 số có số dư =1 và số có số dư bằng 2 sẽ chia hết cho 3 =>\(M\vdots3\)(b)
- Từ (a) và (b) => \(M\vdots3\forall x;y;z\)(2)
- Từ (1) và (2) =>\(M\vdots12\forall a;b;c\)(ĐPCM)
Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
Đặt A = ﴾a ‐ b﴿﴾b ‐ c﴿﴾c ‐ a﴿
+Vì 1 số chính phương chia 3, chia 4 đều dư 0 hoặc 1 ‐ Vì a, b, c chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3
=> Hiệu của chúng chia hết cho 3
=> a ‐ b hoặc b ‐ c hoặc c ‐ a chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 ﴾1﴿ ‐ Vì a, b, c chia 4 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 4
=> Hiệu của chúng chia hết cho 4
=> a ‐ b hoặc b ‐ c hoặc c ‐ a chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4 ﴾2﴿
Tư ﴾1﴿ và ﴾2﴿ kết hợp với ƯCLN ﴾3,4﴿ = 1
=> A chia hết cho 3 x 4
=> A chia hết cho 12
Vậy ...
Lời giải của mình ntn. k cho mình nhé!