Tìm nghiệm phương trình sau: \(x^3+y^3=z^3\left(x,y,z\inℕ^∗\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
1
I
1
10 tháng 10 2021
Ta có \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\)
\(=\left(x-y\right)^3+\left(y-x+x-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\\ =\left(x-y\right)^3+\left(y-x\right)^3+3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-x+x-z\right)+\left(x-z\right)^3+\left(z-x\right)^3\\ =\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)^3+\left(x-z\right)^3-\left(x-z\right)^3+3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\\ =3\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)
Thay vào pt
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=10\)
Dễ thấy \(y-z\) là tổng của \(y-x;x-z\)
Mà \(Ư\left(10\right)=\left\{-10;-5;-2;-1;1;2;5;10\right\}\) và ko có số nào là tổng 2 số còn lại có tích bằng 10
Vậy pt vô nghiệm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+x^3+y^3+1+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=x^3+y^3+1+z\)
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+3\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)=z\)
Do \(VT>3\Rightarrow z>3\Rightarrow z\) lẻ đồng thời z không chia hết cho 3
Nếu \(x;y\) đều lẻ hoặc đều chẵn \(\Rightarrow VT\) chẵn (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow\) x và y có đúng 1 số chẵn, do vai trò của x; y như nhau, giả sử y chẵn \(\Rightarrow y=2\)
\(\Rightarrow x^2+2^x+9\left(x+2\right)\left(x+1\right)=z\)
- Nếu \(x>3\Rightarrow x^2\) chia 3 dư 1, đồng thời do x lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\)
\(\Rightarrow2^x=2^{2k+1}=2.4^k\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow x^2+2^x\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow VT\) chia hết cho 3 (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow x\le3\Rightarrow x=3\Rightarrow z=197\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;197\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2021
Lời giải:
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow 3=27-3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8$Đặt $(x+y,y+z,x+z)=(a,b,c)$ thì $abc=8$ và $a+b+c=6$Do $a+b+c=6>0$ nên $(a,b,c)$ sẽ là 3 số dương hoặc $1$ dương $2$ âm.
TH1: $a,b,c$ đều dương.
Áp dụng BĐT AM-GM: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{8}=6$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
$\Leftrightarrow x+y=y+z=x+z=2\Leftrightarrow x=y=z=1$
TH2: $a,b,c$ có 1 số dương 2 số âm. Giả sử $a$ dương và $b,c$ âm.
$a+b+c=6$ nên $a>6$. Mà $abc=8$ nên $a=8$
$\Rightarrow bc=1$ và $b+c=-2$
$\Rightarrow b=c=-1$
$\Rightarrow x=y=4; z=-5$
Vậy $(x,y,z)=(1,1,1); (4,4,-5)$ và hoán vị.