Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho m+n2 chia hết cho m2-n và n+m2 chia hết cho n2+m
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LQ
0
TL
Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho p = m^2+n^2 là số nguyên tố và m^3+n^3 - 4 chia hết cho p
0
CM
21 tháng 11 2017
Đáp án D
Dựa vào các bước chứng minh ta thấy lập luận đó là chính xác tất cả các bước.
V
0
CL
19 tháng 6 2023
Để chứng minh rằng m và n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau, ta cần thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên thỏa mãn m^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho mn.
Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng m và n là hai số lẻ.
Giả sử rằng m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số tự nhiên. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có:
(2k)^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn
Simplifying the equation, we get:
4k^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn
Dividing both sides by 2, we have:
2k^2 - 1010n^2 + 1011 chia hết cho kn
Do 2k^2 chia hết cho kn, vì vậy 2k^2 cũng chia hết cho kn. Từ đó, 1011 chia hết cho kn.
Bởi vì 1011 là một số lẻ, để 1011 chia hết cho kn, thì kn cũng phải là một số lẻ. Vì vậy, n cũng phải là số lẻ.
Do đó, giả sử m là số chẵn là không hợp lệ. Vậy m phải là số lẻ.
Bước 3: Chứng minh rằng m và n là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giả sử rằng m và n không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố p chia hết cả m và n.
Vì m là số lẻ, n là số lẻ và p là số nguyên tố chia hết cả m và n, vì vậy p không thể chia hết cho 2.
Ta biểu diễn m^2 - 2020n^2 + 2022 dưới dạng phân tích nhân tử:
m^2 - 2020n^2 + 2022 = (m - n√2020)(m + n√2020)
Vì p chia hết cả m và n, p cũng phải chia hết cho (m - n√2020) và (m + n√2020).
Tuy nhiên, ta thấy rằng (m - n√2020) và (m + n√2020) không thể cùng chia hết cho số nguyên tố p, vì chúng có dạng khác nhau (một dạng có căn bậc hai và một dạng không có căn bậc hai).
Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó giả sử ban đầu là sai.
Vậy ta có kết luận rằng m và n là hai số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau.
TT
0
Chắc đề là như này : Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(m+n^2⋮m^2-n\) và \(m^2+n⋮n^2-m\)
Ko mất tính tổng quát giả sử \(n\ge m\) . Ta xét các TH sau :
+ TH1: \(n>m+1\Rightarrow n-1>m\)
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)>m\left(m+1\right)\Rightarrow n^2-m>m^2+n\)
\(\Rightarrow m^2+n⋮̸n^2-m\)
+ TH2: \(n=m+1\) \(\Rightarrow m+\left(m+1\right)^2⋮m^2-\left(m+1\right)\)
\(\Rightarrow m^2-m-1+4m+2⋮m^2-m-1\) \(\Rightarrow4m+2⋮m^2-m-1\)
\(\Rightarrow4m+2\ge m^2-m-1\Rightarrow m^2-5m-3\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5-\sqrt{37}}{2}\le m\le\frac{5+\sqrt{37}}{2}\) \(\Rightarrow m\in\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)
Thử từng TH chú ý n = m + 1
+ TH3: \(n=m\) ta có : \(m+n^2⋮m^2-n\Rightarrow n^2+n⋮n^2-n\Rightarrow2n⋮n^2-n\)
\(\Rightarrow2n\ge n^2-n\) ( do \(2n>0\) ) \(\Rightarrow n^2-3n\le0\Rightarrow0\le n\le3\)
Thử từng TH với đk m = n.
cám ơn bạn