Cho đường tròn (O) đường kính BC,dây AD vuông góc với BC tại H . Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC .Gọi \(\left(I\right),\left(K\right)\)theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HBE,\Delta HCF\)a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn \(\left(I\right)\)và\(\left(O\right)\) , \(\left(K\right)\)và \(\left(O\right)\) , \(\left(I\right)\)và \(\left(K\right)\)b) Tứ giác...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính BC,dây AD vuông góc với BC tại H . Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC .Gọi \(\left(I\right),\left(K\right)\)theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HBE,\Delta HCF\)
a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn \(\left(I\right)\)và\(\left(O\right)\) , \(\left(K\right)\)và \(\left(O\right)\) , \(\left(I\right)\)và \(\left(K\right)\)
b) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của \(\left(I\right)\)và \(\left(K\right)\)
d) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn nhất
a)
IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)
b)
Tứ giác AEHF có \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\) nên là hình chứ nhật
c)
c) \(\Delta AHB\) vuông nên AE.AB = AH2
\(\Delta AHC\)vuông nên AF . AC = AH2
Suy ra AE . AB = AF . AC
d) Gọi G là giao điểm của AH và EF
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF
Ta có : GE = GH => \(\Delta GEH\)\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{H_1}\)
Ta lại có \(\Delta IHE\)cân \(\Rightarrow\widehat{E_2}=\widehat{H_2}\)
\(\Rightarrow\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=90^o\)
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
e) - Cách 1:
Ta có: \(EF=AH\le OA\) ( OA có độ dài không đổi )
Do đó EF lớn nhất khi AH = OA
<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.