Question

[Bi Bi]

1) Tìm số dư khi chia 1999²⁰⁰¹cho 31

2) Chứng minh \(1924^{2003^{2004^n}}+1920⋮124\)∀ \(n\ge1\)

Answer 1

[tthnew]

1/ Ta có: \(1999^{30}\equiv\left(1999^2\right)^{15}\equiv8^{15}\equiv\left(8^3\right)^5\equiv16^5\equiv1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow\left(1999^{30}\right)^{66}\equiv1\left(mod31\right)\Leftrightarrow1999^{1980}\equiv1\left(mod31\right)\) (1)

Lại có: \(1999^{21}\equiv\left(1999^2\right)^{10}.1999\equiv8^{10}.15\equiv\left(8^5\right)^2.15\equiv15\left(mod31\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1999^{1980}.1999^{21}\equiv15\Leftrightarrow1999^{2001}\equiv15\left(mod31\right)\)

Hay \(1999^{2001}\) chia cho 31 có số dư là 15.

P/s: Cả năm nay không làm dạng này nên không chắc nha! Lục nghề mất r

Answer 2

[tthnew]

2) Khó đây, không chắc đâu. Mình thử dùng quy nạp:

Trước hết ta chứng minh nó với n = 1. Tức là chứng minh \(1924^{2003^{2004}}+1920⋮124\)

\(\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Tách: 124 =4 . 31

Ta có: \(1924\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}\equiv0\left(mod4\right)\)

Lại có: \(1924^{30}\equiv1\left(mod31\right)\) (bạn tự chứng minh được mà:D)

Mà: \(2003^{2004}\equiv23^{2004}\equiv19^{1002}\equiv\left(19^2\right)^{501}\equiv1\left(mod30\right)\)

Đặt \(2003^{2004}=30k+1\). Do đó \(1924^{2003^{2004}}=1924^{30k+1}=\left(1924^{30}\right)^k.1924\equiv1.1924\equiv2\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2-31.2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod31\right)\)

Mà \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4.31=124\right)\)

Do đó: \(1924^{2003^{2004}}+1920\equiv64+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Vậy nó đúng trong trường hợp n = 1. Ta giả sử nó đúng đến n = k.

Tức là: \(1924^{2003^{2004^k}}+1920⋮124\)

Ta đi chứng minh: \(1924^{2003^{2004^{k+1}}}+1920⋮124\)

Tới đây bí cmnr:(