\(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2019
\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}=\frac{a^8+b^8}{a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2a^2b^2}=\frac{\left(a^4+b^4\right)\left(a^4+b^4\right)}{2a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right).2a^2b^2}{2a^2b^2}=a^4+b^4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=b^2\)
M
3
6 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT AM - GM \(\hept{\begin{cases}\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\\\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2a^4\end{cases}}\Rightarrow\frac{b^6}{a^2}+\frac{a^6}{b^2}\ge2b^4+2a^4+2a^2b^2\)
Ta lại có: \(2\left(a^4+b^4\right)-2a^2b^2\ge a^4+b^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4\left(đpcm\right)\)
S
6 tháng 2 2020
\(\text{Ta có: a;b}\ne0\text{ nên:}\frac{a^6}{b^2};\frac{b^6}{a^2};a^4;b^4>0\)
\(\text{Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: }\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{a^6}{b^2}+\frac{a^6}{b^2}+b^4\ge3\sqrt[3]{\frac{a^{12}.b^4}{b^4}}=3a^4\\\frac{b^6}{a^2}+\frac{b^6}{a^2}+a^4\ge3\sqrt[3]{\frac{b^{12}.a^4}{a^4}}=3b^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2VP\ge2VT\Leftrightarrow VP\ge VT\left(\text{điều phải chứng minh}\right)\)
8 tháng 3 2019
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
22 tháng 6 2015
a) \(-4\frac{3}{5}\cdot2\frac{4}{23}\le x\le-2\frac{3}{15}:1\frac{6}{15}\)
=> \(-\frac{23}{5}\cdot\frac{50}{23}\le x\le\frac{-33}{15}:\frac{21}{15}\)
=> \(-10\le x\le\frac{-11}{7}\)
=> \(x\in\left\{-10;-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\right\}\)
6 tháng 12 2019
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thanh Hiền, Quân Tạ Minh, @tth_new
Help meeee! thanks nhiều ạ
\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}=\frac{a^8+b^8}{a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2a^2b^2}=\frac{\left(a^4+b^4\right)\left(a^4+b^4\right)}{2a^2b^2}\ge\frac{2a^2b^2\left(a^4+b^4\right)}{2a^2b^2}\)
\(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^6}{b^2}.a^2b^2}=2a^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}\ge2a^4-a^2b^2\). Tương tự rồi cộng lại suy ra:
\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2\left(a^4+b^4\right)-2a^2b^2\)
\(\ge2\left(a^4+b^4\right)-\left(a^4+b^4\right)=a^4+b^4\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b