Đề KSHSG lần 1 huyện Sông Lô - Vĩnh Phúc môn toán lớp 8,5
Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(xy\left(x+y\right)-yz\left(y+z\right)-zx\left(z-x\right)\)
b) Cho x,y,z thỏa mãn:
\(\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}+\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=2022\)
Hãy tính \(P=\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}\)
Câu 2: Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x+10\right)\left(x+15\right)\left(x+20\right)+2021\)
Tìm đa thức dư khi chia P(x) cho đa thức \(x^2+25x+120\)
Câu 3: Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: \(a^3+b^3+19d^3-5c^3=0\)
Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 3
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của PT:
\(4x^2+2xy+4x+y+3=0\)
Câu 5: Cho phương trình: \(\frac{x-2}{x-m}=\frac{x-1}{x+2}\) , tìm m để PT vô nghiệm
Câu 6: Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm Min và Max của:
\(P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)
Câu 7: Cho p là số nguyên tố, biết p2 + 23 có đúng 14 ước dương. Tìm p
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AH chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của KE và AC
a) Chứng minh tam giác ABP vuông cân
b) Vẽ hình vuông APQB. Gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H,I,E thẳng hàng
Câu 9: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}>\widehat{B}\). Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho \(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\). Đường phân giác của góc BAH cắt BH tại E. Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại F. CMR: CF // AE
Câu 10: Cho đa giác đều 12 cạnh A1A2...A12 . Tại đỉnh A1 ta viết dấu (-) , các đỉnh còn lại ta viết dấu (+) . Mỗi lần cho phép lấy ra ba đỉnh liên tiếp và đổi dấu đồng thời các đỉnh đó. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được kết quả là đỉnh A2 mang dấu (-) còn các đỉnh khác mang dấu (+) được không?
Lật ngược lại:
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{z+x}{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x=y=z\left(ez-see!\right)\)
\(\Rightarrow x-z=0\)