Cho a,b,c,d thuộc R
Chứng minh rằng :
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 4 2018
Bổ sung ĐK : a , b , c , d dương
a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd
Áp dụng BĐT Cô - si : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : a4 + b4 ≥ 2a2b2 ( 1)
b4 + c4 ≥ 2b2c2 ( 2)
c4 + d4 ≥ 2c2d2 ( 3)
a4 + d4 ≥ 2a2d2 ( 4)
Từ ( 1; 2; 3; 4) ⇒ a4 + b4 + c4 + d4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2 (***)
Lại Áp dụng BĐT Cô - si : x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : a2b2 + c2d2 ≥ 2abcd ( *)
a2d2 + b2c2 ≥ 2abcd ( ** )
Từ : ( * ; ** ; ***) ⇒ đpcm
HQ
21 tháng 4 2018
đề bài lạ nhỉ đáng lẽ phải là \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) chứ nhỉ
\(a^4+b^4+c^4+d^4\Rightarrow4\sqrt{4\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)}=4abcd\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d\)
Dùng cosi
HT
5
13 tháng 1 2018
Có : a^4;b^4;c^4;d^4 đều >= 0 nên ta áp dụng bđt cosi cho 4 số a^4;b^4;c^4;d^4 >= 0 thì :
a^4+b^4+c^4+d^4 >= 4\(\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\) = 4abcd
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d
=> ĐPCM
Tk mk nha
13 tháng 1 2018
\(a^4+b^4+c^4+d^4\)
\(\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\left(2.ab.cd\right)=4abcd\)
Dấu = khi a=b=c=d
ND
2
BC
19 tháng 4 2016
Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\) , \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\) (Rất dễ cm, bạn dùng biến đổi tương đương)
. => \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\) (1) Lại áp dụng BĐT trên, có:
\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd=>2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)(2)
. Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d
8 tháng 2 2020
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge4abcd\)
b) \(a^2+1\ge2a,b^2+1\ge2b,c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8abc\)
c) \(a^2+4\ge4a,b^2+4\ge4b,c^2+4\ge4c,d^2+4\ge4d\)
\(\Rightarrow\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge256abcd\)
8 tháng 2 2020
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)
b) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a\cdot2b\cdot2c=8abc\)
c) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a\cdot4b\cdot4c\cdot4d=256abcd\)
G
1
ML
7 tháng 8 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)
Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)
Ta có BĐT cần chứng minh
\(\Leftrightarrow a^6+b^6+ab\left(a^4+b^4\right)\ge a^6+b^6+a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a^3b+ab^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
...
Tớ vừa sửa đề rồi nha cậu :V
Cậu làm giùm tớ câu tớ vừa sửa nhé !!
K áp dụng BĐT ạ