Question

[CAO Thị Thùy Linh]

Cho đoạn AB = 4a . Với điểm M tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(A=3MA^2+MB^2\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+IB\right)^2\)

\(=4MI^2+3IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}\left(3.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)

Chọn I sao cho \(3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\Rightarrow I\) là điểm cố định nằm trong đoạn thẳng AB sao cho \(IA=\frac{3}{4}AB=3a;IB=\frac{1}{4}AB=a\)

Khi đó ta có \(A=4MI^2+3IA^2+IB^2\)

Do I cố định \(\Rightarrow IA;IB\) cố định

\(\Rightarrow A_{min}\) khi \(IM_{min}=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

\(\Rightarrow A_{min}=3IA^2+IB^2=28a^2\)