Question

[Haru Kazemino]

Cho ∆MPN cân tại P. Tia phân giác của góc P cắt MN tại I.

a) C/m ∆PIM = ∆ PIN

b) Qua I vẽ IE\(\perp\)PM tại E và vẽ IF \(\perp\)PN tại F. C/m IE=IF

C) IE cắt PN tại H, IF cắt PM tại K. C/m ∆PHK cân

d) C/m EF//HK

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔPIM và ΔPIN có

PM=PN(do ΔMPN cân tại B)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)(do PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\))

PI là cạnh chung

Do đó: ΔPIM=ΔPIN(c-g-c)

b)Ta có: ΔPIM=ΔPIN(cmt)

⇒MI=IN(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔIEM vuông tại E và ΔIFN vuông tại F có

MI=IN(cmt)

\(\widehat{EMI}=\widehat{FNI}\)(hai góc ở đáy của ΔPMN cân tại P)

Do đó: ΔIEM=ΔIFN(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒IE=IF(hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔIEK vuông tại E và ΔIFH vuông tại F có

EI=IF(cmt)

\(\widehat{EIK}=\widehat{FIH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIEK=ΔIFH(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒EK=FH(hai cạnh tương ứng)(1)

Ta có: EK=EM+MK(do E,M,K thẳng hàng)(2)

FH=FN+NH(do F,N,H thẳng hàng)(3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra EM+MK=FN+NH

mà EM=FN(ΔIEM=ΔIFN)

nên MK=NH

Ta có: PK=PM+MK(do P,M,K thẳng hàng)

PH=PN+NH(do P,N,H thẳng hàng)

mà PM=PN(do ΔPMN cân tại P)

và MK=NH(cmt)

nên PK=PH

Xét ΔPKH có PK=PH(cmt)

nên ΔPKH cân tại P(đ/n tam giác cân)

d) Xét ΔPEI vuông tại E và ΔPFI vuông tại F có

PI là cạnh chung

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)(PI là tia phân giác của \(\widehat{EPF}\))

Do đó: ΔPEI=ΔPFI(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒PE=PF(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔPEF có PE=PF(cmt)

nên ΔPEF cân tại P(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{PEF}=\frac{180^0-\widehat{P}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔPEF cân tại P)(4)

Ta có: ΔPKH cân tại P(cmt)

⇒\(\widehat{PKH}=\frac{180^0-\widehat{P}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔPKH cân tại P)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\)

mà \(\widehat{PEF}\) và \(\widehat{PKH}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EF//HK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)

Answer 2

[Vũ Minh Tuấn]

Hình vẽ.