Question

[Namikage Athena]

Giải phương trình:

(x²+x+1)²=3.(x⁴+x²+1)

x⁵=x⁴+x⁴+x²+x+2

Answer 1

[Minh Nguyen]

1/ \(\left(x^2+x+1\right)^2=3\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=3x^4+3x^2+3\)

\(\Leftrightarrow x^4-3x^4+2x^3+x^2+2x^2-3x^2+2x+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow-2x^4+2x^3+2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^4-x^3-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1\right\}\)

2/ Theo tớ chỗ này cậu viết sau đề rồi :D Sửa nhé :

\(x^5=x^4+x^3+x^2+x+2\)

\(\Leftrightarrow x^5-x^4-x^3-x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-2x^4+x^4-2x^3+x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x-2\right)+x^3\left(x-2\right)+x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x^4+x^3+x^2+x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x^4+x^3+x^2+x+1=0\end{cases}}}\)

Với \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)    (1)

Nhân cả 2 vế với \(x-1\)ta được :

\(\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2+x+1-\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Thay \(x=1\)vào (1)

\(\Leftrightarrow\)Vô lí

\(\Leftrightarrow\)\(x^4+x^3+x^2+x+1\ne0\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{2\right\}\)