Cho a,b >0 thỏa mãn a+b <= 1. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab\) lớn hơn hoặc = 11
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2018
Giai
TS + 2 và - 2/(a-b)
SD BĐT Cô si => đpcm
"=" a = (\(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)) ; b = \(\frac{\sqrt{3}\text{-}1}{\sqrt{2}}\) và ngược lại
N
30 tháng 11 2019
Ta co:
\(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{a^2+b}=\frac{1}{\frac{a^2}{a}+b^2}+\frac{1}{a^2+\frac{b^2}{b}}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{a+1}}+\text{ }\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{b+1}}=\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)
Ta di chung minh:
\(\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)
Dat \(t=a+b\left(t\ge2\right)\)
BDT can chung minh la:
\(\frac{t+2}{t^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)
30 tháng 11 2019
Ta có:\(\frac{1}{a+b^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)( áp dụng bất đẳng thức coossi cho a và b^2 rồi nghịch đảo)
\(\frac{1}{b^2+a}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{b+a^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}+\frac{1}{2a\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2ab}=\frac{\sqrt{a}.1+\sqrt{b}.1}{2ab}\)
\(\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2ab}=\frac{a+b+2}{4ab}\)( áp dụng bất đẳng thức cosi cho \(\sqrt{a}.1\)và \(\sqrt{b}.1\))
\(\le\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{1}{a+b}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\le\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\)( do a+b\(\ge\)2 nên \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2}\)và \(\left(a+b\right)^2\ge4\)nên \(\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{4}\))
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
20 tháng 4 2017
Hehe
1) Áp dụng hằng bất đẳng thức số 1: (a-b)^2>=0 với mọi a,b
=> a^2- 2ab+ b^2>= 0 với mọi a,b
=> a^2+2ab+ b^2>= 4ab với a,b>0
=> (a+b)^2> 4ab với a,b>0
=> a+b>= \(2\sqrt{ab}\)
Dấu = xảy ra <=> a-b=0 <=> a= b
Cái này là bất đẳng thức cô- si. lớp 8 được học rồi mà :D
2) Chắc thiếu đề :D
HV
4
21 tháng 2 2020
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
tại a=b=1/2
21 tháng 2 2020
thêm ít cách
Cách 1:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)
\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 2:
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)
\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)
\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)
\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)
\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)
Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được:
\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 3:Làm tắt thui ạ
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)
giống cách 2 rồi làm nốt