Cho \(P=\dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\left(x>0;x\ne1\right)\). Chứng minh rằng với x thỏa mãn điều kiện, P chỉ nhận một giá trị nguyên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 7 2022
Bài 1:
a: \(A=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)-3\sqrt{x}+1+8\sqrt{x}}{9x-1}\right):\dfrac{3\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{3x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}-1+5\sqrt{x}+1}{9x-1}:\dfrac{3}{3\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{3x+3\sqrt{x}}{9x-1}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}+1}{3}=\dfrac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}\)
b: \(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Rút gọn biểu thức P ta được \(P=\dfrac{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{7}{P}=\dfrac{7\sqrt{x}}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>0\\x+\sqrt{x}+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{7}{P}>0\)
Lại có: \(\dfrac{7\sqrt{x}}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{4\left(x+\sqrt{x}+1\right)-4x+3\sqrt{x}-4}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=2-\dfrac{4x+3\sqrt{x}+4}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}< 2\)
\(\Rightarrow0< \dfrac{7}{P}< 2\)
Mà \(\dfrac{7}{P}\) nguyên \(\Rightarrow\dfrac{7}{P}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{7\sqrt{x}}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=1\Rightarrow2x+2\sqrt{x}+2=7\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow2x-5\sqrt{x}+2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
29 tháng 10 2022
\(A=\dfrac{4\sqrt{x}+2+3\sqrt{x}-6-5\sqrt{x}+7}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{2\sqrt{x}+3}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}\)
UK
4 tháng 12 2017
Đặt VT là T
Áp dụng AM-GM cho 3 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(T\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)(đpcm)
UK
4 tháng 12 2017
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{.....}+\dfrac{x+2}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x^3}+2x+2\sqrt{x}-2+x+2}{.....}=\dfrac{\sqrt{x^3}+3x+2\sqrt{x}}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+3\sqrt{x}+2\right)}{....}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
P/S: Chú ý điều kiện khi rút gọn, tự tìm.
N
13 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(P=\sum\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\ge\sum\dfrac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}\sqrt{xyz}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}=\sum\dfrac{2\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}+2\sqrt{z^3}}\)(vì xyz=1).
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^3}=a\\\sqrt{y^3}=b\\\sqrt{z^3}=c\end{matrix}\right.\)(\(a,b,c>0\))thì giả thiết trở thành cho abc=1. tìm Min \(P=\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(P=2\left(\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}\right)\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\)( AM-GM \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z=1
30 tháng 9 2021
Bài 1:
a: Ta có: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=0\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{5}=0\)
hay \(x=\sqrt{5}\)
b: Ta có: \(\sqrt{x+3}=1\)
\(\Leftrightarrow x+3=1\)
hay x=-2
\(P=2\sqrt{x}+2+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\in Z\\ \Leftrightarrow2⋮\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{x}\inƯ\left(2\right)=\left\{2\right\}\left(x\ge0;x\ne1\right)\\ \Leftrightarrow x=4\)
Vậy là xong đề rồi hả?