Cho tam giác ABC cân tại A. Nội tiếp đường trong (O). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC. Đường thẳng này cắt AC tại D và cắt (O) tại E ( E khác B). Cho biết AB = 8cm và BC =4cm, tính đọ dài các đoạn thẳng DE, OA, OD.
giúp vsssss
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Xét tứ giác MBOC có
\(\widehat{OBM}\) và \(\widehat{OCM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MBOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF
Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: HA = HE = HF = (1/2).EF (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác AHF cân tại H.
Gọi I là giao điểm của AD và BC
Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:
BA = BD
Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD
Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.
Tính OA:
\(BH=CH=\frac{BC}{2}=2\)
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\)
\(\sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\)
\(OA=R=\frac{AB}{2}\sin\widehat{ABH}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{64}{4\sqrt{15}}=16\sqrt{15}\)
Tính DE:
Vì: \(OC\perp BE\Rightarrow BC=CE=4\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\Delta BCD=\Delta ABC\) (g.g vì có chung \(\widehat{C}\))
\(\Rightarrow BD=BC=4\)
\(\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow CD=\frac{BC}{2}=2\Rightarrow AD=AC-CD=6\)
Mặt khác: \(BD.DE=AD.CD\Rightarrow DE=AD.\frac{CD}{BD}=6.\frac{2}{4}=3\)
Tính OD:
Ta có \(\cos\widehat{OAD}=\frac{AH}{AC}=\frac{2\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
Áp đụng định lí hàm số cosin vào \(\Delta OAD\)
\(OD^2=OA^2+AD^2-2OA.AD.\cos\widehat{OAD}\)
\(=\frac{16^2}{15}+6^2-2.\frac{16}{\sqrt{15}}.6.\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(=\frac{256}{15}+36-48=\frac{76}{15}\)
\(\Rightarrow OD=2\sqrt{\frac{19}{15}}\)
(Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và hình hơi xấu thông cảm :D mới thử làm dạng này nên sai chỗ nào thì bỏ qua nha)
* Hình vẽ nhìn nó không cân lắm nên bạn chỉnh lại ạ
- Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , => H là trung điểm của BC
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác AHB vuông tại H , ta có :
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.BC}{4.OA}\)
\(\Rightarrow OA=\frac{AB.AC.BC}{4.S_{ABC}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left(cm\right)\)
- Gọi S là giao điểm của BE và OC , T là trung điểm của AC \(\Rightarrow OT\perp AC\)
- Các tứ giác BOSH , OTDS nội tiếp nên :
\(CH.CB=CD.CT\left(=CS.CO\right)=8\Rightarrow CD=\frac{8}{CT}=2\left(cm\right)\)
=> D là trung điểm của CT và AD = 6cm
Vậy : \(BC^2=CD.CA\left(=16cm\right)\)nên \(\Delta ABC~\Delta BCD\left(c-g-c\right)\)nên tam giác BCD cũng cân tại B => BC = BD = 4cm
Ta lại có : \(\Delta DBC~\Delta DAE\left(g-g\right)\Rightarrow BD.DE=CD.AD\Rightarrow DE=\frac{12}{AD}=3\left(cm\right)\)
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác OSE vuông tại S , ta có :
\(OS=\sqrt{OE^2-SE^2}=\frac{17\sqrt{15}}{30}\left(cm\right)\)
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác vuông OSD vuông tại S , ta có :
\(OD=\sqrt{SD^2+OS^2}=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)
Vậy : DE = 3cm ; \(OA=\frac{16\sqrt{15}}{30}\left(cm\right);OD=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)