Cho a, b, c, d > 0 và a+b+c+d = 1
CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\ge36\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
0
MP
2 tháng 7 2020
a, Từ D kẻ \(DE\perp AB\), \(DF\perp AC\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật và có : \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=\widehat{F}=90^o\)
Mà đường chéo AD là phân giác
\(\Rightarrow\) AEDF là hình vuông
\(\Rightarrow\) \(DE=DF=\frac{AD}{\sqrt{2}}\)
Ta có : DE//AC \(\Rightarrow\) \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}\)
DF//AB \(\Rightarrow\) \(\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{BC}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{DF}{AB}+\frac{DE}{AC}=1\)
\(\Rightarrow DF.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=1\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
HH
0
Vì \(\frac{a+b+c+d}{ab}+\frac{a+b+c+d}{ac}+\frac{a+b+c+d}{ad}\)
\(=\frac{a+b}{ab}+\frac{c+d}{ab}+\frac{a+b}{ac}+\frac{a+b}{ad}+\frac{c+d}{ac}+\frac{c+d}{ad}\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)+\left(d+c\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức:
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)\ge18\)
\(\left(c+d\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)\ge18\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\right)\ge36\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}\ge36\left(đpcm\right)\)