Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y<=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\left(\frac{1}{X} +\frac{1}{Y}\right).\sqrt{1+X^2Y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
21 tháng 12 2019
Đáp án C
Ta có
Khi đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 + 2 2
CM
12 tháng 12 2019
Đáp án B
Ta có ln x y = ln x + ln y ≥ ln x 2 + y
⇔ x y ≥ x 2 + y ⇔ y x - 1 ≥ x 2
Vì x = 1 không thỏa và y > 0 => x > 1
⇒ P = x y ≥ x 2 x - 1 + x = f x
X é t h à m s ố f x = x 2 x - 1 + x v ớ i x > 1
⇒ f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2 + x = 2 x 2 - 4 x + 1 x - 1 2
⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 2 + 2 2 v ì x > 1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra
⇒ M i n P = M i n x > 1 f x = f 1 = 3 + 2 2 .
CM
10 tháng 6 2017
Đáp án B
Ta có ln x y = ln x + ln y ≥ ln x 2 + y ⇔ x y ≥ x 2 + y ⇔ y x − 1 ≥ x 2
Vì x = 1 không thỏa và y > 0 ⇒ x > 1 ⇒ P = x y ≥ x 2 x − 1 + x = f x
Xét hàm số f x = x 2 x − 1 + x với x > 1
⇒ f ' x = x 2 − 2 x x − 1 2 + x = 2 x 2 − 4 x + 1 x − 1 2 → f ' x = 0 ⇔ x = 2 + 2 2 vì x > 1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x suy ra ⇒ M i n P = M in x > 1 f x = f 1 = 3 + 2 2
28 tháng 2 2022
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)=36\)
áp dụng BĐT cosi :
\(z^2+\left(x+y\right)^2\ge2z\left(x+y\right)\)
<=> \(z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)\ge4z\left(x+y\right)=36< =>z\left(x+y\right)\ge9\)
ta lại có \(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) áp dụng BĐT buhihacopxki dạng phân thức => \(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{yz+xz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\left(đpcm\right)\)
dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}yz=xz< =>x=y\\x+y+z=6\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z=2x=2y\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{3}{2}\\z=3\end{matrix}\right.\)
28 tháng 2 2022
-Ủa vì sao\(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\)? Đáng lẽ là \(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\le\dfrac{4}{9}\) chứ?
DD
1
2 tháng 3 2021
Vì x,y,z dương nên xyz dương
nên chia cả hai vế của bđt ta được bđt \(\frac{x+y}{xyz}\ge1\)và ta cần chứng minh bđt này đúng thì bđt ban đầu được chứng minh
Ta có \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (*)
Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{z+x+y}{2}\right)^2=2^2=4\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)( AM-GM ) (**)
Từ (*) và (**) => \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge1\)( đpcm )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=4\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2