Question

[Ngưu Kim]

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có AC>AB. Kẻ \(AH\perp BC,\) BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC.}\) Trên BC lấy M sao cho BM=BA.

a) Chứng minh \(\Delta BEA=\Delta BEM\)

b) Gọi N là giao điểm của AM và BE. Chứng minh N là trung điểm của AM và BE là trung trực của AM

c) Lấy \(D\in AC\) sao cho AD=AB. Kẻ \(DF\perp BC,\) \(DK\perp AH.\) Chứng minh KA=HF-DF

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

Mình có hình cho câu a) thôi nha.

a) Xét 2 \(\Delta\) \(BEA\) và \(BEM\) có:

\(BA=BM\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

Cạnh BE chung

=> \(\Delta BEA=\Delta BEM\left(c-g-c\right).\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta BEA=\Delta BEM.\)

=> \(EA=EM\) (2 cạnh tương ứng).

=> E thuộc đường trung trực của \(AM\) (1).

Vì \(BA=BM\left(gt\right)\)

=> B thuộc đường trung trực của \(AM\) (2).

Từ (1) và (2) => \(BE\) là đường trung trực của \(AM.\)

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABN\) và \(MBN\) có:

\(AB=MB\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}\left(cmt\right)\)

Cạnh BN chung

=> \(\Delta ABN=\Delta MBN\left(c-g-c\right)\)

=> \(AN=MN\) (2 cạnh tương ứng).

=> N là trung điểm của \(AM.\)

Chúc bạn học tốt!