Cho x, y>0 thỏa mãn \(x^2\)+\(y^2\)=4. Tìm GTNN của A=(x+\(\frac{1}{y}\))2 + (y+\(\frac{1}{x}\))2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
TN
30 tháng 1 2017
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khio x=y=1/2
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
20 tháng 7 2017
thay x+y=2 vào C có \(C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2}=\frac{1}{x^2+y^2}+1\) (*)
ta có: \(x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy=4-2xy\)(1)
thay (1) vào (*) có \(C=\frac{1}{4-2xy}+1\) (**)
mặt khác áp dụng BĐT cô -si ta có:\(x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow4-2xy\ge2xy\Leftrightarrow xy\le1\) (2)
\(4-2xy\le2\Leftrightarrow\frac{1}{4-2xy}\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{4-2xy}+1\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)
vậy GTNN của C=3 phần 2 <=>x=y=1
PN
12 tháng 3 2017
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{5}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{9}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{9}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)
nên \(A\ge4+9.2=22\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
MT
7 tháng 10 2019
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(BĐT Svacxo)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge8\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\ge4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x+\sqrt{xy}+y\ge16\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
10 tháng 10 2019
Muốn cô k cũng dễ lắm. Tuy nhiên cái cô muốn là các em làm được bài trên OLM sẽ nhìn ra được những lỗi sai của mình thì để lần sau trong các cuộc thi HSG hay các bài kiểm tra trên lớp sẽ không bị mắc phải những cái lỗi tương tự.
bài phía dưới: Từ (1) , (2) => \(x+2\sqrt{xy}+y\ge16\) nha
Bỏ qua lỗi này. Cái quan trọng là khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất em cần phải biết nó đạt tại x =?, y=?.
nếu bỏ qua phần này sẽ bị trừ điểm rất nặng. :)
26 tháng 4 2020
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) ; \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4^2}}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
26 tháng 4 2020
Em không chắc em làm đúng không nhưng ra kết quả khác cô Chi. Sai thì cô bỏ qua cho em ạ
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\). Dễ thấy \(0< xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t+\frac{t}{t}\)trên \((0;\frac{1}{4}]\). Lấy t1<t2 \(\in(0;\frac{1}{4}]\)
Xét \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(1-\frac{1}{t_1t_2}\right)\)Vì \(t_1;t_2\in(0;\frac{1}{4}]\Rightarrow1< \frac{1}{t_1t_2}\)
Từ đó dễ ràng nhận ra: \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)>0\)Vậy \(f\left(t\right)\)nghịch biến trên \((0;\frac{1}{4}]\)
Do đó mà \(f\left(\frac{1}{4}\right)\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\). Hay \(\frac{17}{4}\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\)
=> \(\frac{17}{4}\le xy+\frac{1}{xy}\Rightarrow\frac{287}{16}\le\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=P\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(A=4+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2.\left(x^2+y^2\right)}{xy}=4+\frac{4}{x^2y^2}+\frac{8}{xy}\)
\(A=4\left(\frac{1}{xy}+1\right)^2\)
Mặt khác : \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(\frac{1}{2}+1\right)^2=9\)
Vậy Min A = 9 khi x = y = \(\sqrt{2}\)