Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c<a.b+b.c+c.a.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 3 2020
Bài 2 :
Tham khảo nha bạn !
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
3 tháng 3 2020
Vì a,b,c có vai trò như nhau. Giả sử a<b<c
Khi đó ab+bc+ca =< 3bc
=> abc<3bc => a<3 => a=2 (vì a là số nguyên tố)
Với a=2, ta có:
2bc < 2b+2c-bc =< 4c
=> b<4 => b=2 hoặc b=3
Nếu b=2 thì 4c<2+4c thỏa mãn với c là số nguyên bất kì
Nếu b=3 thì 6c<6+5c => c<6 => c=3 hoặc c=5
Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là: (2;2;p);(2;2;3);(2;3;5) và các hoán vị của chúng với p là số nguyên tố
DN
3
SI
10 tháng 2 2021
Giả sử : \(2\le c\le b\le a\) (1)
Lại có : a.b.c < a.b + b.c + c.a \(\Rightarrow1< \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\) (2)
Từ (1) ta có: \(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le\frac{3}{c}\Rightarrow1< \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Leftrightarrow c=2\)
Thay c = 2 vào (2) ta được :
\(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Rightarrow b\le4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=2\\b=3\end{cases}}\)
- Với b = 2 , ta có : \(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}>0\)(đúng với mọi số nguyên tố a)
- Với b = 3 , ta có : \(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\Rightarrow a< 6\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3\\a=5\end{cases}}\)
Vậy (a;b;c) = (5;3;2) ; (3;3;2) ; (2;2;a) (a là số nguyên tố bất kì)
10 tháng 2 2021
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
T
4
23 tháng 8 2019
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
T
1
VT
26 tháng 12 2015
a=2,b=3,c=5(giả sử a> hoặc bằng b,b> hoặc bằng c, c> hoặc bằng a
PT
1
CM
24 tháng 9 2017
Vì a, b, c có vai trũ như nhau nên giả sử a ≤ b ≤ c khi đó
( Vì a là số nguyên tố )
Với a = 2 ta có
- Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả món với c là nguyên tố bất kỡ
- Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5
Vậy các cạp số (a, b, c) càn Tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , với p là số nguyên tố .
TT
0
NN
1
27 tháng 3 2016
Cách 1 : a4 + b4≥ a3.b + a.b3
Khi và chỉ khi a4 + b4 - a3.b - a.b3 ≥ 0
Khi và chỉ khi a3 (a - b) - b3 (a - b) ≥ 0
Khi và chỉ khi (a - b)(a3 - b3) ≥ 0 khi và chỉ khi (a - b)(a - b)(a2 + ab + b2) ≥ 0
Khi và chỉ khi (a - b)2[(a + b/2)2 + 3.b3/4] ≥ 0 (hiển nhiên đúng với mọi a,b)
Cách 2 : Ta có[ a2 - b2]2 ≥ 0
=> a4 - 2.a2.b2 + b4 ≥ 0
=> a4 + b4 ≥ 2.a2.b2
=> a4 + b4 + a4 + b4 ≥ a4 + b4 + 2.a2.b2
=> 2( a4 + b4) &ge ; ( a2 + b2)2 (1)
Mặt khác (a - b)2≥ 0
=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
=> a2 + b2≥2ab
=> (a2 + b2)( a2 + b2)≥2ab (a2 + b2)
=> (a2 + b2)2 ≥2ab (a2 + b2) (2)
Từ (1) và (2) => 2( a4 + b4 ) ≥ 2ab (a2 + b2)
=> ( a4 + b4 )≥ a3.b + a.b3
Cách 3 :
( a4 + b4 ) -( a3.b + a.b3) = 1/2 (2 a4 + 2 b4 - 2 a3.b -2 a.b3)
= 1/2 [(a4 - 2 a3.b +
NT
1
4 tháng 2 2020
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)
(2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4
. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
HN
0
Giả sử \(2\le c\le b\le a\) (1)
Từ abc < ab + bc + ca chia 2 vế cho abc ta được :
\(1< \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\) (2)
Từ (1) ta có :
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le\frac{3}{c}\) nên \(1< \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)
Thay c = 2 vào (2) ta có :
\(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)
Vì b là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b=2\\b=3\end{cases}}\)
Với \(b=2\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố a
Với \(b=3\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\Rightarrow a< 6\)
Mà a là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}a=3\\a=5\end{cases}}\)
Vậy ( a ; b ; c ) = ( 5 ; 3 ; 2 ) ; ( 3 ; 3 ; 2 ) ; ( a ; 2 ; 2 ) với a là số nguyên tố bất kì
KHông mất tính tổng quát: g/s: \(a\ge b\ge c\)
=> \(ab+bc+ac\le ab+ba+ab=3ab\)
Theo đề bài: \(abc< ab+bc+ac\)
=> \(abc< 3ab\Leftrightarrow c< 3\)
mà c là số nguyên tố => c = 2
=> \(2ab< ab+2b+2a\)
=> \(ab< 2\left(a+b\right)\)mặt khác \(a\ge b\)
=> \(ab< 2\left(a+a\right)\Leftrightarrow ab< 4a\Leftrightarrow b< 4\)
Ta có b là số nguyên tố => b = 2 hoặc b = 3
Với b = 2 => \(4a< 2a+4+2a\)=> 0 < 4 luôn đúng với mọi a
Với b = 3 => \(6a< 3a+6+2a\)=> a < 6 . Vì a là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng b => a = 3 hoặc a = 5
Vậy có các bộ số : ( a; 2; 2) với a nguyên tố bất kì; ( 3; 3; 2) ; ( 5; 3; 2) Và các hoán vị