cho x,y,z >0 và x+y+z=1
CMR: S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) <=8/729
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2023
Bài này cực kì chặt nên có lẽ phải sử dụng tới BĐT Schur
Đặt \(x+y+z=p\) ; \(xy+yz+zx=q\)
BĐT cần chứng minh tương đương: \(p^3+4q+6\ge2p^2+3pq\) với \(p;q\ge3\)
TH1: \(p\ge q\)
\(p^3+4q+6-2p^2-3pq\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)-2\left(q-3\right)\ge0\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}p\ge q\\p>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)\ge\left(p^2-3p\right)\left(p-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(p^2-3q\right)\left(p-2\right)-2\left(q-3\right)\ge\left(p^2-3p\right)\left(p-2\right)-2\left(p-3\right)\)
\(=\left(p-3\right)\left(p^2-2p-2\right)=\left(p-3\right)\left[p\left(p-3\right)+p-2\right]\ge0\)
TH2: \(p\le q\)
Áp dụng BĐT Schur bậc 4:
\(p^4+4q^2+6p\ge5p^2q\Rightarrow p^3+6\ge5pq-\dfrac{4q^2}{P}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(5pq-\dfrac{4q^2}{p}+4q\ge2p^2+3pq\)
\(\Leftrightarrow p^2q-2q^2+2pq-p^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(q-p\right)\left(p^2-2q\right)\ge0\) (đúng)
12 tháng 11 2023
Nhân bung ra, rút gọn rồi đưa về bất đẳng thức: \(\sum\dfrac{xy}{z}\ge\sum2x\), đến đây dùng BDT Cauchy là xong rồi em.
S
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
HT
0
MA
1
KB
6 tháng 4 2019
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
KK
3
TQ
9 tháng 10 2017
ý em là bài này hả ?
Cho các số dương x,y,z thoã mãn x+y+z=3 Tìm GTNN của 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2+y^2+z^2)+2...
bài làm
ta có : x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-... bạn tự chứng minh nha, khai triển vế phải ra là xong :D)
sau đó áp dụng điều kiện x+y+z=3 rồi thay vào biểu thức ban đầu ta có
BT= 5(x^2+y^2+z^2)-6(xy+yz+zx) + 8xyz +3
= 8(x^2+y^2+z^2)-3(x+y+z)^2 + 8xyz +3
sau đó bạn áp dụng BDT xyz>=(x+y-z)(z+x-y)(y+z-x) sau đó thế x+y+z=3 và khai triển ra ta được
xyz>=(3-2z)(3-2y)(3-2z)=27-18(x+y+z)+1... -8xyz
thay x+y+z=3 ta được:
9xyz >=12(xy+yz+zx)-27
>> BT + xyz >= 8(x^2+y^2+z^2)-27+3+ 12(xy+yz+zx)-27=2(x^2+y^2+z^2)+6(x+y+z)^...
lại có 3(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2 ( BDT Bunhiacopxki) >> (x^2+y^2+z^2)>=3
27xyz<=(x+y+z)^3>> xyz<=1
vậy BT + 1>= BT +xyz >= 6+ 54-51 <> BT >=8. ĐT khi x=y=z=1
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)hay \(1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{1}{3}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{27}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))
Lại áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm là x + y; y + z; x + z, ta được:
\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)(Vì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow27\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\le8\)(lập phương hai vế)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\le\frac{8}{27}\)
(Dâú "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))
\(\Rightarrow S\le\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}\)(Dâú "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))