cho ba số a,b,c thỏa mãn a/1997=b/1998=c/1999
Tính giá trị của biểu thức 16(a-b)(b-c)-4\(\left(c-a\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 5 2018
Đặt \(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=k\)
\(\Rightarrow a=2014k;b=2015k;c=2016k\)
\(\Rightarrow4(a-b)(b-c)=4(2014k-2015k)(2015k-2016k)\)
\(\Rightarrow4\cdot k(2014-2015)\cdot k(2015-2016)=4\cdot k\cdot(-1)\cdot k\cdot(-1)=4\cdot k^2\)
\(\Rightarrow(c-a)(c-a)=(c-a)^2=(2016k-2014k)=[k(2016-2014)]^2=(k\cdot2)^2=k^{2\cdot4}\)
Rồi tự suy ra đấy
Bạn Namikaze Minato làm đúng rồi đấy
17 tháng 5 2018
\(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=\frac{a-b}{2014-2015}\)
\(=\frac{b-c}{2015-2016}=\frac{c-a}{2016-2014}\)
\(=\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)
\(\Rightarrow a-b=-\frac{c-a}{2};b-c=-\frac{c-a}{2}\)
do đó: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow M=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)-\left(c-a\right)^2=0\)
DT
25 tháng 2 2022
oh no bài thứ nhất là dạng chứng minh cs đúng ko ,
ko thể nào là dạng tìm a,b,c đc-.-
23 tháng 9 2021
Ta có: \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=\left|2a+\sqrt{abc}\right|=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\\\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
23 tháng 9 2021
Ta có \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(a+c+\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+ac+a\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\\ =\sqrt{4a^2+ac\left(4-\sqrt{abc}-a-c\right)+4a\sqrt{abc}}\\ =\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}\\ =2a+\sqrt{abc}\left(a,b,c>0\right)\)
Cmtt \(\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}=2b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\\ A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=2\cdot4=8\)
27 tháng 5 2020
Cách 1:Giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow1-3a\le0\)
Ta có:
\(P=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(=ab+bc+ca-3abc\)
\(=a\left(b+c\right)+bc\left(1-3a\right)\)
\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}+0=\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{2};c=0\)
Cách 2:
Ta sẽ đi chứng minh \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-12abc\le\Sigma a^3+3\Sigma a^2b+3\Sigma ab^2+6abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)
Theo Schur thì \(a^3+b^3+c^3\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2+3abc\ge\Sigma a^2b+\Sigma ab^2-18abc\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\) tại a=b=1/2 ; c=0 và các hoán vị
Cách 3:
\(\frac{1}{4}-P=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4}-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2\)
\(=\frac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3-\Sigma a^2b-\Sigma ab^2+3abc\right)+\frac{3}{4}abc\ge0\) ( đúng theo Schur )
Vậy \(P\le\frac{1}{4}\)
Nhớ không nhầm thì hình như trong này có 1 cách của tth_new nhé !
24 tháng 5 2018
Ta có :\(a^2+b=b^2+c\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=c-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=c-b-a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=c-a\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\left(b-c\right)\left(b+c-1\right)=a-b\\\left(a-c\right)\left(a+c-1\right)=c-b\end{cases}}\)
Nhận vế với vế của các đẳng thức trên ta được :
\(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)\left(a+c-1\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)\left(a+c-1\right)=1\)
BM
22 tháng 1 2018
Ta có: \(A=a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)
\(\Rightarrow A=a^3+b^3+c^3-3abc=0\) \(\Rightarrow A=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
Xét \(M=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Rightarrow2M=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Rightarrow2M=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a-b=0;b-c=0;c-a=0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1+1+1=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
ĐKXĐ: \(abc\ne0\)
\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a+b+c=0\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\dfrac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=-1\)
TH2: \(a=b=c\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
XO
3 tháng 4 2021
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
=> \(\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right).c}\)
Khi a + b = 0
=> (a + b)(b + c)(c + a) = 0 (2)
Nếu a + b \(\ne0\)
=> ab = -(a + b + c).c
=> ab + (a + b + c).c = 0
=> ab + ac + bc + c2 = 0
=> (a + c)(b + c) = 0
=> (a + b)(b + c)(a + c) = 0 (1)
Từ (2)(1) => (a + b)(b + c)(a + c) = 0 \(\forall a;b;c\)
=> a = -b hoặc b = -c hoặc = c = -a
Nếu a = -b => a11 = -b11 => a11 + b11 = 0
=> P = 0 (3)
Nếu b = -c => b9 = - c9 => b9 + c9 = 0
=>P = 0 (4)
Nếu c = -a => c2001 = -a2001 => c2001 + a2001 = 0
=> P = 0 (5)
Từ (3);(4);(5) => P = 0 trong cả 3 trường hợp
Vạy P = 0
DDawtj \(\frac{a}{1997}=\frac{b}{1998}=\frac{c}{1999}=k\)
\(\Rightarrow a=1997k;b=1998k;c=1999k\)
\(16\left(a-b\right)\left(b-c\right)-4\left(c-a\right)^2\)
\(=16\left(1997k-1998k\right)\left(1998k-1999k\right)-4\left(1999k-1997k\right)\)
\(=16.\left(-k\right).\left(-k\right)-4.\left(2k\right)^2\)
\(=16k^2-4.4k^2\)
\(=16k^2-16k^2\)
\(=0\)