tim z de
4a^2b^2-(a^2+b^2-z^2)=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PD
1
MT
1
9 tháng 1 2016
ta có: 2a+2b+2c=by+cz+ax+cz+ax+by
suy ra: 2(a+b+c)=2(ax+by+cz)
a+b+c=ax+by+cz
a+b+c=ax+2a(vì by+cz=2a)
a+b+c=a(x+2)
1/x+2=a/a+b+c
Tương tự: 1/y+2=b/a+b+c
1/z+2=c/a+b+c
suy ra: M=a/(a+b+c)+b/(a+b+c)+c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
TN
2
TN
0
26 tháng 2 2020
Bài 1
Cho a , b , c > 0 . CM : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)\le\frac{a\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b}+\frac{b\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c}+\frac{c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a}\)
\(=\frac{a^2c}{b}+a^2+ab+ac+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+b^2+ab+c^2+bc+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\)
Mặt khác : \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)=a^2+ac+c^2+3b^2+3ab+3bc\)
Do đó ta cần chứng minh :
\(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\ge2b^2+2bc+ab\left(2\right)\)
\(VT=\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^3}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{c^2b}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b^3}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)+b^2\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\ge ab+\sqrt{ac^3}+\sqrt{\frac{b^4c}{a}}+2b^2\ge ab+2bc+2b^2=VP\)
Dấu " = " xảy ra khi a=b=c
26 tháng 2 2020
Bài 2 :
Vì x , y , z > 0 ta có :
Áp dụng BĐT Cô - si đối với 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\) và \(\frac{y+z}{4}\)
ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\left(1\right)\) .
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\left(2\right);\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\left(x+xy+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Vậy \(P=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(4a^2b^2-\left(a^2+b^2-z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-z^2+2ab\right)\left(2ab-a^2-b^2+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-z^2\right]\left[z^2-\left(a-b\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-z\right)\left(a+b+z\right)\left(z-a+b\right)\left(z+a-b\right)=0\)