1. cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y\in Z;x^2+y^2\in Z;x^4+y^4\in Z\). Cmr: \(x^3+y^3\in Z\)
2. giair pt và hpt : a) \(\frac{x^3+14}{2+x}=2\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}+3\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x^3+3x^2y=5\\y^3+6xy^2=7\end{matrix}\right.\)
3. Cmr:...
Đọc tiếp
1. cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y\in Z;x^2+y^2\in Z;x^4+y^4\in Z\). Cmr: \(x^3+y^3\in Z\)
2. giair pt và hpt : a) \(\frac{x^3+14}{2+x}=2\sqrt{\frac{x^3-3x+4}{x+1}}+3\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x^3+3x^2y=5\\y^3+6xy^2=7\end{matrix}\right.\)
3. Cmr: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Bài 2:
b) Với y = 0 thì vt của pt thứ 2 = 0 => loại.
Xét y khác 0:
Nhân pt thứ nhất với \(\frac{7}{5}\) rồi trừ đi pt thứ 2 thu được:
\(\frac{14}{5}x^3+\frac{21}{5}x^2y-y^3-6xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{5}\left(x-y\right)\left(14x^2+35xy+5y^2\right)=0\)
Với x = y, thay vào pt thứ 2:
\(7x^3=7\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Với \(14x^2+35xy+5y^2=0\)
\(\Leftrightarrow14\left(\frac{x}{y}\right)^2+35\left(\frac{x}{y}\right)+5=0\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\) suy ra: \(14t^2+35t+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{-35+3\sqrt{105}}{28}\\t=\frac{-35-3\sqrt{105}}{28}\end{matrix}\right.\)
Nghiệm xấu quá, chị tự thay vào giải nốt :D. Nhớ check xem em có tính nhầm chỗ nào ko:D
3/ Sửa phân thức thứ 3 thành: \(\frac{1}{1+c^3}\).
Quy đồng lên ta cần chứng minh: \(\frac{\Sigma_{cyc}\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+2abc\left(a^3+b^3+c^3\right)-3a^3b^3c^3-\left[a^3+b^3+c^3-3abc+2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\right]\ge0\)Đến đây chắc là đổi biến sang pqr rồi làm nốt ạ! Hơi trâu bò tí, cách khác em chưa nghĩ ra.