Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
17 tháng 11 2017
Tui vừa trả lời 3 bài này ở câu của Nguyễn Anh Quân
Xem tui giải đúng không nha
Xin 
Wrecking Ball nhận xét
19 tháng 4 2020
b) chia cả 2 vế cho xyz>0 ta được: \(\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}=3\)
không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\ge1\). Ta có:
\(3=\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}\le\frac{15}{z^3}\Rightarrow z^3\le5\Rightarrow z=1\)
\(z=1\Rightarrow2x+2y+11=3xyz\Rightarrow3=\frac{2}{y}+\frac{2}{x}+\frac{1}{xy}\le\frac{15}{y^2}\Rightarrow y^2\le5\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1;x=1\\y=2;x=\frac{15}{4}\end{cases}}}\)
ĐCĐK và kết luận
Vậy (1;1;13);(13;1;1);(1;13;1)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+x^3+y^3+1+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=x^3+y^3+1+z\)
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+3\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)=z\)
Do \(VT>3\Rightarrow z>3\Rightarrow z\) lẻ đồng thời z không chia hết cho 3
Nếu \(x;y\) đều lẻ hoặc đều chẵn \(\Rightarrow VT\) chẵn (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow\) x và y có đúng 1 số chẵn, do vai trò của x; y như nhau, giả sử y chẵn \(\Rightarrow y=2\)
\(\Rightarrow x^2+2^x+9\left(x+2\right)\left(x+1\right)=z\)
- Nếu \(x>3\Rightarrow x^2\) chia 3 dư 1, đồng thời do x lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\)
\(\Rightarrow2^x=2^{2k+1}=2.4^k\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow x^2+2^x\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow VT\) chia hết cho 3 (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow x\le3\Rightarrow x=3\Rightarrow z=197\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;197\right)\)
9 tháng 1 2021
1) Xét x=7k (k ∈ Z) thì x3 ⋮ 7
Xét x= \(7k\pm1\) thì x3 ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.
Xét x=\(7k\pm2\) thì x3 ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.
Xét x=\(7k\pm3\)\(\) thì x3 ⋮ 7 dư 1 hoặc 6.
Do vế trái của pt chia cho 7 dư 0,1,6 còn vế phải của pt chia cho 7 dư 2. Vậy pt không có nghiệm nguyên.
3) a, Ta thấy x,y,z bình đẳng với nhau, không mất tính tổng quát ta giả thiết x ≥ y ≥ z > 0 <=> \(\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{y}\le\dfrac{1}{z}\) ,ta có:
\(1=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{z}< =>z\le3\)
Kết luận: nghiệm của pt là ( x;y;z): (6:3:2), (4;4;2), (3;3;3) và các hoán vị của nó (pt này có 10 nghiệm).
=>(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=1
=>(x+y)^3+z^3-[3xy(x+y)+3xyz]=1
=>(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)=1
=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz-3xy)=1
=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=1
=>(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)=2
=>(x+y+z)[(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)]=2
=>(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=2
Có x+y+z;(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 thuộc Z vì x,y nguyên
Mà (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 >=0
Nên phân tích 2 thành tích 2 số nguyên mà 1 số lớn hơn hoặc bằng 0 ta có:
2=1. 2
=> x+y+z=2 và (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 =1
+)Nếu (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 =1
Phân tích 1 thành tổng 3 scp có 1=0+0+0
Xét 3 trường hợp rồi tự làm nốt
+)Nếu x+y+z=2