Question

[Trần Khánh Châu]

Cho a,b,c,d > 0 CMR:

\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

Mấy thánh cứu với!

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàng]

Theo tính chất của tỉ lệ thức , ta có :

 \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác , ta có : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự , ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\\\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\\\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\end{cases}}\)

Từ ( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 6 ) 

\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

Vậy...............

P/s : Nếu sai thì bỏ qua nha !

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Kimetsu bn làm mak mik thấy cứ mắc mắc chỗ nào ý,cách làm thì ko có gì phải bàn.

Ta có:

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad< a^2+ad+ab+ad+ca+cd\)

\(\Leftrightarrow cd+da>0\) (  luôn đúng )

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Tương tự rồi cộng lại nha !