Cho a,b,c > 0 và a.b.c = 1
Chứng minh: \(\dfrac{1}{a+2}\)+\(\dfrac{1}{b+2}\)+\(\dfrac{1}{c+2}\)≥1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
12 tháng 8 2017
Sửa đề: Chứng minh \(abc\le\dfrac{1}{8}\)
Ta có
\(\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)
\(=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (1)
Tương tự \(\dfrac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) (2)
và \(\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) với nhau:
\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
12 tháng 8 2017
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\left(3\right)\)
Nhân (1),(2) và (3) theo vế:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge8abc\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2
KN
3
C
31 tháng 10 2019
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}=\frac{1}{\frac{x}{y}+2}=\frac{1}{\frac{x+2y}{y}}=\frac{y}{x+2y}=\frac{y^2}{xy+2y^2}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+2}=\frac{z^2}{yz+z^2};\frac{1}{c+2}=\frac{x^2}{zx+x^2}\)
Ta có:
\(\frac{x^2}{xz+2x^2}+\frac{y^2}{xy+2y^2}+\frac{z^2}{yz+2z^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx}\)
Mặt khác \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Rồi OK.Đến đây tịt r:( GOD nào vào thông não hộ ạ:(
4 tháng 8 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\\z=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\) và BĐT cần chứng minh là:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y=z=1 \Rightarrow a=b=c=1\)
4 tháng 8 2017
ai tick cho mik , mik tick lại cho !^__<
nhớ giải câu hỏi nhé ! thanks
T
12 tháng 8 2017
Sửa đề: Chứng minh \(abc\le\dfrac{1}{8}\)
Ta có
\(\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)
\(=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (1)
Tương tự \(\dfrac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) (2)
và \(\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) với nhau:
\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
3 tháng 5 2017
Đặt \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\) là ( 1)
Ta có : \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=a+b+c-ab-bc-ca>0\)
\(=a+b+c-\dfrac{c}{ab}-\dfrac{a}{bc}-\dfrac{b}{ac}>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( 2 )
BĐT ( 2 ) đúng . Từ đây ta có thể thấy BĐt ( 1 ) cũng đúng :D
C
20 tháng 4 2017
Từ (a-1)(b-1)(c-1)>0 (*)
<=>(ab-b-a+1)(c-1)>0
<=> abc-ab-bc+b-ac+a+c-1>0
<=> a+b+c-ab-ac-bc>0
<=> a+b+c-\(\dfrac{abc}{c}-\dfrac{abc}{b}-\dfrac{abc}{a}\)>0
<=> a+b+c - \(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}>0\)
<=> \(a+b+c>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( 1)
(1) đúng => (*) đúng
18 tháng 6 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\le\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}+\dfrac{2}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{2}{2\sqrt{ac}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\le\dfrac{1}{\sqrt{a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2}}\)
\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy...
18 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại có:
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Sửa lại đề: CMR $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$
----------------------
Lời giải:
Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $(a,b,c)=(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x})$
Bài toán đã cho trở thành:
Cho $x,y,z>0$. CMR $P=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}\leq 1$
Thật vậy:
$P=\frac{1}{2}(\frac{1-\frac{x}{x+2y})+\frac{1}{2}(1-\frac{y}{y+2z})+\frac{1}{2}(1-\frac{z}{z+2x})$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}\right)(*)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}=\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2zx}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.1=1$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$
Em đã nêu hai cách giải ở đây: Câu hỏi của khiêm nguyễn xuân - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath