Question

[Thanh Thanh]

cho x và y là hai số thực thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng: x³ + y³ > hoặc = 1/4

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)

Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y

Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.

=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)

=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.