Question

[Nguyễn Bảo Gia Huy]

Cho x+y=a+b và x^2+y^2=a^2 + b^2

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

x^n + y ^n= a^n + b^n

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

x+y=a+b => (x+y)² =(a+b)² => x² +2xy+ y² =a² +2ab+b² => xy=ab 

ta sẽ chứng mính bằng phương pháp quy nạp.

Với n =1, n=2 thì đẳng thức đúng

Giả sử  x^n-1 +y^n-1 = a^n-1 +b^n-1; xⁿ +yⁿ = aⁿ +bⁿ , ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n+1

\(x^{n+1}+y^{n+1}=\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-xy\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-\)ab(a^n-1 +b^n-1 ) = aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ (đúng)

vậy đẳng thức đúng với mọi n

Answer 2

[I - Vy Nguyễn]

+) Ta có : \(x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\) ( * ) 

+) Ta có : \(x+y=a+b\)

\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)

Thay \(x-a=b-y\) vào ( * ) ta được : 

\(\left(b-y\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a\right)-\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left[\left(x+a\right)-\left(b+y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a-b-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b-y=0\\x+a-b-y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=y\\x+a=b+y\end{cases}}\)

TH1 :\(b=y\)

\(\Rightarrow b-y=0\)

​​​\(\Rightarrow x-a=0\)​

\(\Rightarrow x=a\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 1 ) 

TH2 : \(x+a=b+y\)

Mà \(x-a=b-y\)

\(\Rightarrow x+a+x-a=b+y+b-y\)

\(\Rightarrow2x=2b\)

\(\Rightarrow x=b\)

\(\Rightarrow a=y\)

\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 2 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) 

\(\Rightarrow\) đpcm