Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}\), trên đoạn DM lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow{DN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}\). Kéo dài AN cắt cạnh DC tại N. Đặt \(\overrightarrow{DK}=x\overrightarrow{KC}\). Tìm x.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}+2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\right)+\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2.\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}\) (do \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\))
\(=\frac{7}{6}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\frac{49}{36}AB^2+4AD^2}=\frac{3\sqrt{113}}{2}\)
\(BM=2MA\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\); \(AN=3NC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\left(\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{5}{16}AB^2-\dfrac{3}{16}AD^2=\dfrac{1}{8}AB^2=\dfrac{1}{8}\) (chú ý rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) và \(AB=AD=1\))
Gọi O là giao điểm AC và BD, theo t/c hình bình hành \(\Rightarrow O\) là trung điểm AC và BD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)
Từ giả thiết:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow5.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OS}\)
Hay M là điểm thuộc đoạn thẳng OS sao cho \(OM=\dfrac{1}{5}OS\) \(\Rightarrow SM=4MO\)
Do M thuộc OS \(\Rightarrow M\in\left(SAC\right)\), kéo dài AM cắt SC tại \(C'\) \(\Rightarrow C'\) là điểm cố định (bất chấp vị trí mặt phẳng (P))
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOC với 3 điểm A, M, C' thẳng hàng:
\(\dfrac{MS}{MO}.\dfrac{OA}{AC}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow\dfrac{CC'}{SC'}=\dfrac{1}{2}\)
Bây giờ tới B' và D'.
Cách đơn giản nhất là đề ko cho biết rõ về mp (P), nó chỉ cần chứa AM là đủ, do đó ta chọn vị trí đơn giản nhất của (P) để tính, đó là (P) song song BD. Khi đó, qua M kẻ đường thẳng song song BD lần lượt cắt SB, SD tại B' và D'
Theo định lý Talet:
\(\dfrac{BB'}{SB'}=\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{MO}{SM}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BB'}{SB'}+\dfrac{CC'}{SC'}+\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\)
Trong trường hợp ko muốn làm kiểu chọn mp đặc biệt này thì ta có thể chọn vị trí bất kì cho B', nhưng sẽ tốn thời gian hơn nhiều. Nếu em cần thì cũng có thể giải quyết theo cách ấy.
Tham khảo:
a) M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.
Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 3.\overrightarrow {MC} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)
Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)
Lại có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)
Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá
xem lại đề đi bạn ơi