Tìm GTNN của biểu thức:
\(C=\frac{6}{|x|-3}\)với \(x\in Z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BC
1
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 10 2019
Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bổ đề ta có:
\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)
Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)
Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)
\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)
\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
T
3 tháng 10 2019
Dễ dàng chứng minh được \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y+z}{2}\)(khi nào rảnh em gõ ha! Giờ lười lắm:v)
Do đó \(P\ge x^2+y^2+z^2+\frac{x+y+z}{2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=\frac{t^2-2t}{3}\) (đặt t = x+y+z)
\(=\frac{\left(t^2-2t+1\right)-1}{3}=\frac{\left(t-1\right)^2-1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\t=x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Is that true?
S
10 tháng 6 2019
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
10 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
19 tháng 5 2020
Đặt:P = \(\frac{4-x}{x-2}=\frac{2+2-x}{x-2}=\frac{2}{x-2}-1\)
Ta có: P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\frac{2}{x-2}\) đạt giá trị lớn nhất
+) Nếu : x - 2 < 0 => \(\frac{2}{x-2}< 0\)
+) Nếu x - 2> 0 => \(\frac{2}{x-2}>0\)
Nên \(\frac{2}{x-2}\)đạt giá trị lớn nhất khi x - 2 > 0 và x - 2 đạt giá trị bé nhất
=> x - 2 = 1 hay x = 3 ( thỏa mãn x khác 2)
Tại x = 3 ta có: P = 2 - 1 = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là P = 1 tại x = 3.
T
8 tháng 5 2019
Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.
8 tháng 5 2019
\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)
:))
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
\(C=\frac{6}{\left|x\right|-3}\)
Ta có:
\(6>0\)
\(\Rightarrow\frac{6}{\left|x\right|-3}\ge1\forall x\inℤ\)
\(\Rightarrow C\ge1\forall x\inℤ\)
Dấu "=" xảy ra:
\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x\right|=4\)
\(\Leftrightarrow x=\pm4\)
Vậy C nhỏ nhất khi C = 1 tại x = \(\pm4\)
Chúc em học tốt nhé!
Lưu ý: |x| - 3 là mẫu số thì luôn luôn khác 0 nên có nhiều trường hợp nhé!